Y = ln (x+5)^5 - 5x найти производную!

Чтобы найти производную функции $y=\ln (x+5{)}^5-5x$, воспользуемся свойствами логарифмов и правилами дифференцирования. 1. Упрощение функции Перед дифференцированием воспользуемся свойством логарифма $\ln \left(a^n\right)=n\cdot \ln \left(a\right)$. Это значительно упростит вычисления: $y=5\ln (x+5)-5x$2. Нахождение производной Теперь найдем производную $y^{\prime }$, применяя правила:

• Производная суммы/разности: $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$ Вынос константы: $(c\cdot u{)}^{\prime }=c\cdot u^{\prime }$ Производная натурального логарифма: $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$ Производная линейной функции: $(kx{)}^{\prime }=k$

Пошаговое вычисление:

1. Найдем производную первого слагаемого $5\ln (x+5)$:
   $\left(5\ln \right(x+5){)}^{\prime }=5\cdot \frac{1}{x+5}\cdot (x+5{)}^{\prime }=5\cdot \frac{1}{x+5}\cdot 1=\frac{5}{x+5}$ Найдем производную второго слагаемого $5x$:
   $(5x{)}^{\prime }=5$ Объединим результаты:
   $y^{\prime }=\frac{5}{x+5}-5$

3. Приведение к общему знаменателю (по желанию) Для получения более компактного вида приведем дробь к общему знаменателю: $y^{\prime }=\frac{5-5(x+5)}{x+5}=\frac{5-5x-25}{x+5}=\frac{-5x-20}{x+5}$ Можно также вынести $-5$ за скобки: $y^{\prime }=\frac{-5(x+4)}{x+5}$ Ответ: $y^{\prime }=\frac{5}{x+5}-5\text{или}{y}^{\prime }=-\frac{5x+20}{x+5}$ Хотите ли вы разобрать исследование этой функции на экстремумы или найти её значение в конкретной точке?