Решить неравенство: корень из x+8 > x+2

Для решения неравенства $\sqrt{x+8}>x+2$ необходимо рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ) и разобрать два случая, зависящих от знака правой части выражения. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+8\ge 0⟹x\ge -8$2. Разбор случаев Поскольку левая часть неравенства ( $\sqrt{x+8}$ ) всегда неотрицательна по определению арифметического корня, рассмотрим два сценария для правой части ( $x+2$): Случай А: Правая часть отрицательна Если $x+2<0$, то левая часть (положительная или ноль) всегда будет больше правой части.

1. $x+2<0⟹x<-2$ С учетом ОДЗ: $-8\le x<-2$

Решение для случая А: $x\in [-8;-2)$ Случай Б: Правая часть неотрицательна Если $x+2\ge 0$, то обе части неравенства можно возвести в квадрат без потери знака.

1. $x+2\ge 0⟹x\ge -2$ Возводим в квадрат:
   $x+8>(x+2{)}^2$ $x+8>x^2+4x+4$ $x^2+3x-4<0$ Решим квадратное уравнение $x^2+3x-4=0$ для поиска критических точек:
   По теореме Виета: $x_1=-4,x_2=1$.
   Так как коэффициент при $x^2$ положителен и нам нужно значение $<0$, интервал будет между корнями:
   $-4<x<1$ Пересекаем полученный интервал с условием случая Б ( $x\ge -2$):
   $x\in [-2;1)$

3. Объединение результатов Объединим решения из случая А и случая Б:

1. От $-8$ до $-2$ (не включая $-2$). От $-2$ до $1$ (не включая $1$).

Объединенный интервал: $[-8;1)$ Ответ: $x\in [-8;1)$Хотите, чтобы я решил аналогичное иррациональное неравенство с другим знаком или параметром?