Решить: sinx+2cosx+2=0

Для решения уравнения $\sin x+2\cos x+2=0$ воспользуемся методом универсальной тригонометрической подстановки или методом введения вспомогательного угла. В данном случае удобнее использовать формулы двойного аргумента, чтобы свести уравнение к однородному или разложить на множители. Шаг 1: Применение тригонометрических формул Разложим компоненты уравнения, используя формулы для аргумента $\frac{x}{2}$ :

• $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ $\cos x={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}$ $2=2({\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2})$ (основное тождество)

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+2({\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2})+2({\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2})=0$ Шаг 2: Упрощение выражения Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+2{\cos }^2\frac{x}{2}-2{\sin }^2\frac{x}{2}+2{\sin }^2\frac{x}{2}+2{\cos }^2\frac{x}{2}=0$ Заметим, что $-2{\sin }^2\frac{x}{2}$ и $\mathrm{+2}{\sin }^2\frac{x}{2}$ взаимно уничтожаются: $2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+4{\cos }^2\frac{x}{2}=0$ Шаг 3: Разложение на множители Вынесем общий множитель $2\cos \frac{x}{2}$ за скобки: $2\cos \frac{x}{2}(\sin \frac{x}{2}+2\cos \frac{x}{2})=0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Шаг 4: Решение полученных уравнений Случай 1: $\cos \frac{x}{2}=0$ $\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x_1=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\sin \frac{x}{2}+2\cos \frac{x}{2}=0$ Разделим обе части на $\cos \frac{x}{2}$ (при условии, что $\cos \frac{x}{2}\ne 0$ , что мы уже рассмотрели выше): $\tan \frac{x}{2}+2=0$ $\tan \frac{x}{2}=-2$ $\frac{x}{2}=\arctan \left(-2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Используя нечетность арктангенса: $x_2=-2\arctan \left(2\right)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ:

• $x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=-2\arctan \left(2\right)+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Могу ли я помочь с решением других тригонометрических уравнений или систем?