1. найдите производную функции y= корень из x 2. найдите производную функции y= x\e^-x 3 найдите производную функции y=2x+3 4. найдите дифференциал функции y=x^3 *(умножить на) arcsin x

Результатами вычислений являются: производная первой функции $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , второй — $y^{\prime }=e^x(1+x)$, третьей — $y^{\prime }=2$, а дифференциал четвертой — $dy=(3x^2\arcsin x+\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}})dx$ . ️ Шаг 1: Производная степенной функции Для функции $y=\sqrt{x}$ применим формулу производной степенной функции, представив корень как степень: $y=x^{1/2}$. Используем правило $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$: $y^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{1/2-1}=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ️ Шаг 2: Производная произведения с экспонентой Для функции $y=\frac{x}{e^{-x}}$ сначала упростим выражение, используя свойства степени: $y=x\cdot e^x$. Применим правило дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }{e}^x+x(e^x{)}^{\prime }=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$️ Шаг 3: Производная линейной функции Для функции $y=2x+3$ используем правила суммы и константы. Производная суммы равна сумме производных, производная $x$ равна $1$, а производная константы равна $0$: $y^{\prime }=(2x{)}^{\prime }+(3{)}^{\prime }=2\cdot 1+0=2$️ Шаг 4: Нахождение дифференциала Дифференциал функции находится по формуле $dy=y^{\prime }dx$. Для функции $y=x^3\arcsin x$ применим правило произведения:

1. Найдем производную: $y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }\arcsin x+x^3(\arcsin x{)}^{\prime }$. Вычислим компоненты: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ и $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ . Получим: $y^{\prime }=3x^2\arcsin x+\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$ .
   Запишем дифференциал:
   $dy=(3x^2\arcsin x+\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}})dx$

Ответ:

1. $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
2. $y^{\prime }=e^x(1+x)$
3. $y^{\prime }=2$
4. $dy=(3x^2\arcsin x+\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}})dx$

Нужно ли вам разобрать геометрический смысл полученных производных или найти вторые производные для этих функций?