Ctg2 2x - 6 ctg 2x + 5 = 0

Уравнение: ${\text{ctg}}^2\left(2x\right)-6\text{ctg}\left(2x\right)+5=0$. 1. Введение новой переменной Для упрощения заменим тригонометрическую функцию $\text{ctg}\left(2x\right)$ на переменную $t$: $t=\text{ctg}\left(2x\right)$Уравнение принимает вид квадратного: $t^2-6t+5=0$2. Решение квадратного уравнения Решим его через дискриминант $D$ или по теореме Виета:

• Дискриминант: $D=b^2-4ac=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$. Корни: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{6\pm 4}{2}$
  • $t_1=\frac{6+4}{2}=5$ $t_2=\frac{6-4}{2}=1$

3. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, решив два простейших тригонометрических уравнения. Случай 1: $\text{ctg}\left(2x\right)=5$ Используем общую формулу для котангенса: $2x=\text{arcctg}\left(5\right)+\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$. Разделим обе части на 2: $x_1=\frac{1}{2}\text{arcctg}\left(5\right)+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\text{ctg}\left(2x\right)=1$ По таблице значений $\text{ctg}\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$ : $2x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$. Разделим обе части на 2: $x_2=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{1}{2}\text{arcctg}\left(5\right)+\frac{\pi n}{2}$ $x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2}$ где $n,k\in \mathbb{Z}$. Если нужно, я могу:

• Вычислить приблизительные значения корней в градусах.
• Показать решение аналогичного уравнения с тангенсом.
• Объяснить, как найти корни на заданном промежутке.