Решить уравнение log(4)log(2)x+log(2)log(4)x=2

Для решения уравнения ${\log }_4\left({\log }_{2}x\right)+{\log }_2\left({\log }_{4}x\right)=2$ воспользуемся свойствами логарифмов и приведем их к одному основанию. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел. Следовательно:

• $x>0$ (аргумент внутреннего логарифма); ${\log }_{2}x>0⟹x>2^0⟹x>1$; ${\log }_{4}x>0⟹x>4^0⟹x>1$.

ОДЗ: $x>1$. 2. Приведение к общему основанию Используем формулу перехода к новому основанию ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$ и связь логарифмов с разными основаниями:

1. Заметим, что ${\log }_4\left({\log }_{2}x\right)={\log }_{2^2}\left({\log }_{2}x\right)=\frac{1}{2}{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)$ . Выразим ${\log }_{4}x$ через основание $2$: ${\log }_{4}x={\log }_{2^2}x=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$ .

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $\frac{1}{2}{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)+{\log }_2\left(\frac{1}{2}{\log }_{2}x\right)=2$ 3. Упрощение уравнения Применим свойство логарифма произведения ${\log }_a\left(bc\right)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ ко второму слагаемому: $\frac{1}{2}{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)+{\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)+{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)=2$ Так как ${\log }_2\left(\frac{1}{2}\right)=-1$ , уравнение принимает вид: $\frac{1}{2}{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)-1+{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)=2$ Сгруппируем слагаемые с логарифмами: $\frac{3}{2}{\log }_2\left({\log }_{2}x\right)=3$ 4. Решение относительно $x$ Разделим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ (или умножим на $\frac{2}{3}$ ): ${\log }_2\left({\log }_{2}x\right)=2$По определению логарифма: ${\log }_{2}x=2^2$ ${\log }_{2}x=4$Находим $x$: $x=2^4$ $x=16$5. Проверка Значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ( $16>1$). Ответ: $16$ Было бы полезно составить для вас аналогичную задачу для закрепления навыка работы со свойствами логарифмов?