Решить уравнение sinx+sin3x=0

Для решения уравнения $\sin x+\sin 3x=0$ воспользуемся тригонометрической формулой суммы синусов: $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)$ 1. Преобразование уравнения Применим формулу к нашему уравнению, где $\alpha =3x$, а $\beta =x$: $2\sin \left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos \left(\frac{3x-x}{2}\right)=0$ Упрощаем аргументы тригонометрических функций: $2\sin \left(2x\right)\cos \left(x\right)=0$2. Расщепление уравнения Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Разделим уравнение на 2 и рассмотрим два случая:

1. $\sin 2x=0$ $\cos x=0$

3. Решение отдельных уравнений Случай А: $\sin 2x=0$ Аргумент синуса равен $k\pi$, где $k$ — целое число: $2x=k\pi$ $x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ Случай Б: $\cos x=0$ Аргумент косинуса равен $\frac{\pi }{2}+n\pi$ , где $n$ — целое число: $x=\frac{\pi }{2}+n\pi ,n\in \mathbb{Z}$ 4. Объединение корней Проанализируем полученные множества решений:

• При $k=1$: $x=\frac{\pi }{2}$ При $k=3$: $x=\frac{3\pi }{2}$ (что соответствует $n=1$ во втором случае)

Заметим, что все решения уравнения $\cos x=0$ (вида $\frac{\pi }{2}+n\pi$ ) уже содержатся в множестве решений $x=\frac{k\pi }{2}$ (при нечетных значениях $k$). Следовательно, общее решение можно записать одной лаконичной формулой. Ответ: $x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобразил эти точки на тригонометрической окружности или проверил корни на определенном промежутке?