Решить уравнения: 1) tgx\3 = корень из 3\3 2) cos(3x\4 - пи\6) = - 1\2 3) 2cosквадратx - sin2x = 0

Ответы на уравнения: 1) $x=\frac{\pi }{2}+3\pi k$ ; 2) $x=\frac{10\pi }{9}+\frac{8\pi k}{3}$ и $x=-\frac{2\pi }{3}+\frac{8\pi k}{3}$ ; 3) $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ и $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$. ️ Шаг 1: Решение первого уравнения Уравнение имеет вид $\tan \left(\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Это простейшее тригонометрическое уравнение.

1. Используем общую формулу для тангенса: $\tan \alpha =a\alpha =\arctan a+\pi k$. Подставляем значения: $\frac{x}{3}=\arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\pi k$ . Так как $\arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{\pi }{6}$ , получаем $\frac{x}{3}=\frac{\pi }{6}+\pi k$ . Умножаем обе части на 3: $x=\frac{3\pi }{6}+3\pi kx=\frac{\pi }{2}+3\pi k,k\in \mathbb{Z}$ .

️ Шаг 2: Решение второго уравнения Уравнение $\cos (\frac{3x}{4}-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}$ .

1. Применяем формулу $\cos \alpha =a\alpha =\pm \arccos a+2\pi k$. Находим арккосинус: $\arccos (-\frac{1}{2})=\pi -\arccos \left(\frac{1}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ . Составляем равенство: $\frac{3x}{4}-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$ . Переносим $\frac{\pi }{6}$ в правую часть: $\frac{3x}{4}=\frac{\pi }{6}\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$ . Рассмотрим два случая:
   • Случай «+»: $\frac{3x}{4}=\frac{\pi +4\pi }{6}+2\pi k=\frac{5\pi }{6}+2\pi kx=\frac{5\pi }{6}\cdot \frac{4}{3}+\frac{8\pi k}{3}=\frac{10\pi }{9}+\frac{8\pi k}{3}$ . Случай «-»: $\frac{3x}{4}=\frac{\pi -4\pi }{6}+2\pi k=-\frac{3\pi }{6}+2\pi k=-\frac{\pi }{2}+2\pi kx=-\frac{\pi }{2}\cdot \frac{4}{3}+\frac{8\pi k}{3}=-\frac{2\pi }{3}+\frac{8\pi k}{3}$ .

️ Шаг 3: Решение третьего уравнения Уравнение $2{\cos }^{2}x-\sin 2x=0$.

1. Используем формулу двойного угла для синуса: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставляем в уравнение: $2{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x=0$. Выносим общий множитель $2\cos x$ за скобки: $2\cos x(\cos x-\sin x)=0$. Уравнение распадается на два:
   • $2\cos x=0\cos x=0x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ . $\cos x-\sin x=0$. Разделим на $\cos x$ (так как если $\cos x=0$, то $\sin x\ne 0$, и корней нет): $1-\tan x=0\tan x=1x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ .

Ответ:

1. $x=\frac{\pi }{2}+3\pi k$ $x=\frac{10\pi }{9}+\frac{8\pi k}{3};x=-\frac{2\pi }{3}+\frac{8\pi k}{3}$ $x=\frac{\pi }{2}+\pi k;x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$.

Нужно ли разобрать графическое представление решений этих уравнений на тригонометрическом круге?