Решите неравенство: 2^x+3*2^-x<=4

Для решения неравенства $2^x+3\cdot 2^{-x}\le 4$ воспользуемся методом замены переменной. 1. Введение новой переменной Пусть $t=2^x$. Заметим, что по свойствам показательной функции $t$ всегда должно быть строго больше нуля ( $t>0$). Тогда $2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\frac{1}{t}$ . 2. Преобразование неравенства Подставим $t$ в исходное выражение: $t+\frac{3}{t}\le 4$ Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю: $t+\frac{3}{t}-4\le 0$ $\frac{t^2-4t+3}{t}\le 0$ 3. Решение рационального неравенства Так как мы установили, что $t>0$, знаменатель дроби всегда положителен. Следовательно, знак всей дроби зависит только от числителя: $t^2-4t+3\le 0$Найдем корни квадратного трехчлена $t^2-4t+3=0$. По теореме Виета:

• $t_1+t_2=4$ $t_1\cdot t_2=3$ Корни: $t_1=1$, $t_2=3$.

Разложим на множители: $(t-1)(t-3)\le 0$Решением этого неравенства относительно $t$ является отрезок: $1\le t\le 3$4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t=2^x$: $1\le 2^x\le 3$Представим числа 1 и 3 как степени с основанием 2:

• $1=2^0$ $3=2^{{\log }_{2}3}$

Получаем двойное неравенство: $2^0\le 2^x\le 2^{{\log }_{2}3}$Так как основание показательной функции $2>1$, функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к показателям знаки неравенства сохраняются: $0\le x\le {\log }_{2}3$Ответ: $x\in [0;{\log }_{2}3]$Я могу составить для вас аналогичное тренировочное задание с логарифмической заменой, если вы хотите закрепить этот метод решения.