Решите неравенство ((3x^2+4x)/(9-x))>0

Для решения неравенства $\frac{3x^2+4x}{9-x}>0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Нахождение нулей числителя и знаменателя Сначала определим значения $x$, при которых числитель равен нулю, а знаменатель не определен.

• Числитель: $3x^2+4x=0$
  Вынесем $x$ за скобки:
  $x(3x+4)=0$
  Отсюда получаем два корня:
  $x_1=0$
  $x_2=-\frac{4}{3}$ Знаменатель: $9-x\ne 0$
  $x\ne 9$

2. Определение знаков на интервалах Отметим найденные точки на числовой прямой: $-\frac{4}{3}$ , $0$ и $9$. Эти точки разделяют прямую на четыре интервала. Проверим знак выражения на каждом из них, подставив любое число из интервала в исходную дробь:

1. Интервал $(-\infty ,-\frac{4}{3})$ : Возьмем $x=-2$.
   $\frac{3(-2{)}^2+4(-2)}{9-\left(-2\right)}=\frac{12-8}{11}=\frac{4}{11}>0$ (Знак +) Интервал $(-\frac{4}{3},0)$ : Возьмем $x=-1$.
   $\frac{3(-1{)}^2+4(-1)}{9-\left(-1\right)}=\frac{3-4}{10}=-\frac{1}{10}<0$ (Знак –) Интервал $(0,9)$: Возьмем $x=1$.
   $\frac{3(1{)}^2+4(1)}{9-1}=\frac{7}{8}>0$ (Знак +) Интервал $(9,+\infty )$: Возьмем $x=10$.
   $\frac{3(10{)}^2+4(10)}{9-10}=\frac{340}{-1}=-340<0$ (Знак –)

3. Выбор подходящих интервалов Поскольку в условии стоит знак $>$ (строго больше нуля), нам подходят интервалы со знаком +. Точки будут «выколотыми» (не входящими в ответ), так как неравенство строгое.

• Первый интервал: $(-\infty ,-\frac{4}{3})$ Второй интервал: $(0,9)$

Ответ: $x\in (-\infty ,-\frac{4}{3})\cup (0,9)$ Могу ли я помочь вам с решением других неравенств или систем уравнений?