Решите неравенство x-4x^2/x-1>0

Для решения неравенства $\frac{x-4x^2}{x-1}>0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Преобразование числителя Сначала разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $x$: $x-4x^2=x(1-4x)$Теперь неравенство принимает вид: $\frac{x(1-4x)}{x-1}>0$ 2. Поиск критических точек Критическими точками являются значения $x$, при которых числитель равен нулю (корни) или знаменатель равен нулю (точки разрыва).

• Числитель равен 0:
  • $x=0$ $1-4x=0⟹4x=1⟹x=0.25$
• Знаменатель равен 0:
  • $x-1=0⟹x=1$ (точка не входит в область определения)

3. Определение знаков на интервалах Нанесем точки $0$; $0.25$ и $1$ на числовую прямую. Они разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $f\left(x\right)=\frac{x(1-4x)}{x-1}$ на каждом из них:

4. Выбор интервалов Так как исходное неравенство имеет знак $>0$, нам подходят интервалы, где выражение положительно:

1. $(-\infty ;0)$ $(0.25;1)$

Ответ: $x\in (-\infty ;0)\cup (0.25;1)$ Хотите, чтобы я помог вам решить другое неравенство или разобрал аналогичный пример с модулем?