Решите неравенство (x^2+2x+1)(x-1)>=0

Для решения неравенства $(x^2+2x+1)(x-1)\ge 0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Упрощение выражения Заметим, что выражение в первой скобке является квадратом суммы: $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$Таким образом, исходное неравенство принимает вид: $(x+1{)}^2(x-1)\ge 0$2. Нахождение нулей функции Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти критические точки: $(x+1{)}^2(x-1)=0$Отсюда получаем два корня:

• $x_1=-1$ (корень кратности 2, так как скобка в квадрате) $x_2=1$ (корень кратности 1)

3. Анализ знаков на интервалах Разделим числовую прямую на интервалы точками $-1$ и $1$:

1. Интервал $(-\infty ;-1)$: Возьмем $x=-2$.
   $(-2+1{)}^2(-2-1)=(-1{)}^2\cdot \left(-3\right)=1\cdot \left(-3\right)=-3<0$. Интервал $(-1;1)$: Возьмем $x=0$.
   $(0+1{)}^2(0-1)=1^2\cdot (-1)=-1<0$.
   Примечание: знак не изменился при переходе через $-1$, так как это корень четной кратности. Интервал $(1;+\infty )$: Возьмем $x=2$.
   $(2+1{)}^2(2-1)=3^2\cdot 1=9>0$.

4. Выбор интервалов Нам необходимо найти значения $x$, при которых выражение $\ge 0$.

• Выражение больше нуля на промежутке $[1;+\infty )$. Выражение равно нулю в точках $x=1$ и $x=-1$.

Несмотря на то, что в окрестности точки $-1$ значения функции отрицательны, сама точка $-1$ является решением, так как неравенство нестрогое ( $\ge 0$). Ответ: $x\in \left\{-1\right\}\cup [1;+\infty )$ Хотите, чтобы я решил другое неравенство или разобрал аналогичный пример с дробно-рациональным выражением?