Sabc - правильная треугольная пирамида, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны. вычислите расстояние от основания высоты пирамиды, проведенной из вершины s, до бокового ребра, если объем пирамиды равен 288 см3

Question

Sabc - правильная треугольная пирамида, боковые ребра которой взаимно перпендикулярны. вычислите расстояние от основания высоты пирамиды, проведенной из вершины s, до бокового ребра, если объем пирамиды равен 288 см3

TheLake 06.02.2026 13:58

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Расстояние от основания высоты пирамиды до бокового ребра составляет $4 \sqrt{2} 4 the square root of 2 end-root$ см. Шаг 1: Нахождение длины бокового ребра Пусть боковые ребра пирамиды $S A = S B = S C = a cap S cap A equals cap S cap B equals cap S cap C equals a$ . Поскольку они взаимно перпендикулярны, объем пирамиды можно вычислить, приняв за основание грань $S B C cap S cap B cap C$ (прямоугольный треугольник), тогда $S A cap S cap A$ будет высотой: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{S B C} \cdot S A = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^{2} \cdot a = \frac{1}{6} a^{3} cap V equals one-third center dot cap S sub cap S cap B cap C end-sub center dot cap S cap A equals one-third center dot one-half a squared center dot a equals one-sixth a cubed$ Зная объем $V = 288 cap V equals 288$ см $^{3} cubed$ , найдем $a a$ : $\frac{1}{6} a^{3} = 288 ⟹ a^{3} = 1728 ⟹ a = 12 см one-sixth a cubed equals 288 ⟹ a cubed equals 1728 ⟹ a equals 12 см$ Шаг 2: Расчет элементов основания и высоты пирамиды Основание пирамиды $A B C cap A cap B cap C$ — правильный треугольник со стороной $b b$ . По теореме Пифагора для $△ S A B triangle cap S cap A cap B$ : $b = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} см b equals the square root of a squared plus a squared end-root equals a the square root of 2 end-root equals 12 the square root of 2 end-root см$ Высота пирамиды $S H cap S cap H$ опускается в центр $H cap H$ треугольника $A B C cap A cap B cap C$ . Отрезок $H A cap H cap A$ является радиусом описанной окружности основания: $H A = \frac{b}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{6} см cap H cap A equals the fraction with numerator b and denominator the square root of 3 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 12 the square root of 2 end-root and denominator the square root of 3 end-root end-fraction equals 4 the square root of 6 end-root см$ Из прямоугольного $△ S H A triangle cap S cap H cap A$ найдем высоту $S H cap S cap H$ : $S H = \sqrt{S A^{2} - H A^{2}} = \sqrt{12^{2} - (4 \sqrt{6})^{2}} = \sqrt{144 - 96} = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3} см cap S cap H equals the square root of cap S cap A squared minus cap H cap A squared end-root equals the square root of 12 squared minus open paren 4 the square root of 6 end-root close paren squared end-root equals the square root of 144 minus 96 end-root equals the square root of 48 end-root equals 4 the square root of 3 end-root см$ Шаг 3: Вычисление искомого расстояния Искомое расстояние $d d$ — это высота прямоугольного $△ S H A triangle cap S cap H cap A$ , проведенная из вершины $H cap H$ к гипотенузе $S A cap S cap A$ . Площадь треугольника можно выразить двумя способами: $S_{S H A} = \frac{1}{2} \cdot S H \cdot H A = \frac{1}{2} \cdot d \cdot S A cap S sub cap S cap H cap A end-sub equals one-half center dot cap S cap H center dot cap H cap A equals one-half center dot d center dot cap S cap A$ Откуда выразим $d d$ : $d = \frac{S H \cdot H A}{S A} = \frac{4 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{6}}{12} = \frac{16 \sqrt{18}}{12} = \frac{4 \cdot 3 \sqrt{2}}{3} = 4 \sqrt{2} см d equals the fraction with numerator cap S cap H center dot cap H cap A and denominator cap S cap A end-fraction equals the fraction with numerator 4 the square root of 3 end-root center dot 4 the square root of 6 end-root and denominator 12 end-fraction equals the fraction with numerator 16 the square root of 18 end-root and denominator 12 end-fraction equals the fraction with numerator 4 center dot 3 the square root of 2 end-root and denominator 3 end-fraction equals 4 the square root of 2 end-root см$ Ответ: Расстояние от основания высоты до бокового ребра равно $4 \sqrt{2} 4 the square root of 2 end-root$ см. Укажите, требуется ли вам вывод формул для других типов правильных многогранников или расчет углов между гранями этой пирамиды?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов