Решите неравенство (x+4)^2/(2x^2-3x+1)>=0

Для решения неравенства $\frac{(x+4{)}^2}{2x^2-3x+1}\ge 0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $2x^2-3x+1\ne 0$Найдем корни квадратного уравнения $2x^2-3x+1=0$ через дискриминант: $D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$ $x_1=\frac{3+1}{4}=1,x_2=\frac{3-1}{4}=0.5$ Следовательно, $x\ne 1$ и $x\ne 0.5$. 2. Нули числителя Приравняем числитель к нулю: $(x+4{)}^2=0⟹x=-4$Заметим, что корень $x=-4$ имеет четную кратность (квадрат), что означает, что при переходе через эту точку знак выражения не изменится. 3. Разложение на множители Перепишем исходное неравенство в виде: $\frac{(x+4{)}^2}{2(x-1)(x-0.5)}\ge 0$ 4. Анализ знаков на интервалах Отметим точки $-4$, $0.5$ и $1$ на числовой прямой. Точки из знаменателя ( $0.5$ и $1$) будут выколотыми, а точка из числителя ( $-4$) — закрашенной, так как неравенство нестрогое. Расставим знаки на полученных интервалах:

1. $(1;+\infty )$: Выберем $x=2$. Числитель $(2+4{)}^2>0$, знаменатель $(2-1)(2-0.5)>0$. Итог: $+$ $(0.5;1)$: Выберем $x=0.75$. Числитель $(0.75+4{)}^2>0$, знаменатель $(0.75-1)(0.75-0.5)<0$. Итог: $-$ $(-4;0.5)$: Выберем $x=0$. Числитель $(0+4{)}^2>0$, знаменатель $(0-1)(0-0.5)>0$. Итог: $+$ $(-\infty ;-4)$: Выберем $x=-5$. Числитель $(-5+4{)}^2>0$, знаменатель $(-5-1)(-5-0.5)>0$. Итог: $+$

Важно: В точке $x=-4$ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $\ge 0$. Поскольку знак слева и справа от $-4$ положительный, весь промежуток до $0.5$ остается подходящим.

5. Итоговый ответ Нам подходят интервалы, где выражение положительно или равно нулю:

• Область $(-\infty ;0.5)$ полностью удовлетворяет условию (включая точку $-4$). Область $(1;+\infty )$ удовлетворяет условию.

Ответ: $x\in (-\infty ;0.5)\cup (1;+\infty )$ Хотите, чтобы я проверил решение другого неравенства или разобрал построение графика этой функции?