Решите уравнение: 19 * 4^(x) - 5 * 2^(x+2) + 1 = 0

Для решения уравнения $19\cdot 4^x-5\cdot 2^{x+2}+1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Сначала приведем все степени к основанию $2$:

• $4^x=(2^2{)}^x=2^{2x}=(2^x{)}^2$ $2^{x+2}=2^x\cdot 2^2=4\cdot 2^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение: $19\cdot (2^x{)}^2-5\cdot (4\cdot 2^x)+1=0$ $19\cdot (2^x{)}^2-20\cdot 2^x+1=0$2. Введение новой переменной Пусть $2^x=t$, где $t>0$ (так как показательная функция всегда положительна). Получаем квадратное уравнение: $19t^2-20t+1=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант $D$ по формуле $D=b^2-4ac$: $D=(-20{)}^2-4\cdot 19\cdot 1$ $D=400-76=324$ $\sqrt{D}=\sqrt{324}=18$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{20+18}{2\cdot 19}=\frac{38}{38}=1$ $t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{20-18}{2\cdot 19}=\frac{2}{38}=\frac{1}{19}$ Оба значения удовлетворяют условию $t>0$. 4. Обратная замена Теперь вернемся к переменной $x$:

1. Для $t_1=1$:
   $2^x=1$ $2^x=2^0$ $x_1=0$ Для $t_2=\frac{1}{19}$ :
   $2^x=\frac{1}{19}$ По определению логарифма:
   $x_2={\log }_2\left(\frac{1}{19}\right)$ или $x_2=-{\log }_{2}19$

Ответ: $0$; $-{\log }_{2}19$. Хотите, чтобы я проверил решение другого уравнения или помог с преобразованием логарифмов?