F(x)=x+4/x найти экстремумы

Для нахождения экстремумов функции $f\left(x\right)=x+\frac{4}{x}$ необходимо выполнить последовательное исследование функции с помощью производной. 1. Область определения Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $D\left(f\right):x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$ 2. Нахождение производной Для дифференцирования представим функцию в виде $f\left(x\right)=x+4x^{-1}$: $f^{\prime }\left(x\right)=(x{)}^{\prime }+(4x^{-1}{)}^{\prime }=1-4x^{-2}=1-\frac{4}{x^2}$ Приведем производную к общему знаменателю: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2}$ 3. Критические точки Экстремумы могут находиться в точках, где производная равна нулю или не существует (при условии, что сами точки входят в область определения).

1. Производная равна нулю:
   $x^2-4=0$
   $x^2=4$
   $x_1=2,x_2=-2$ Производная не существует:
   $x=0$ (точка разрыва функции, не является экстремумом).

4. Определение знаков производной и характера экстремумов Разделим числовую ось на интервалы точками $-2,0,2$ и определим знак $f^{\prime }\left(x\right)$ на каждом из них:

• $(-\infty ;-2)$: возьмем $x=-3⟹f^{\prime }\left(-3\right)=\frac{9-4}{9}>0$ (возрастание) $(-2;0)$: возьмем $x=-1⟹f^{\prime }\left(-1\right)=\frac{1-4}{1}<0$ (убывание) $(0;2)$: возьмем $x=1⟹f^{\prime }\left(1\right)=\frac{1-4}{1}<0$ (убывание) $(2;+\infty )$: возьмем $x=3⟹f^{\prime }\left(3\right)=\frac{9-4}{9}>0$ (возрастание)

Анализ точек:

• В точке $x=-2$ производная меняет знак с + на -. Это точка максимума.
• В точке $x=2$ производная меняет знак с - на +. Это точка минимума.

5. Вычисление значений функции в точках экстремума Подставим найденные значения $x$ в исходную формулу $f\left(x\right)=x+\frac{4}{x}$ :

• Локальный максимум:
  $f\left(-2\right)=-2+\frac{4}{-2}=-2-2=-4$
  Точка максимума: $(-2;-4)$ Локальный минимум:
  $f\left(2\right)=2+\frac{4}{2}=2+2=4$
  Точка минимума: $(2;4)$

Итоговый ответ:

• Точка максимума: $x_{max}=-2$, значение $f\left(-2\right)=-4$. Точка минимума: $x_{min}=2$, значение $f\left(2\right)=4$.

Могу также составить таблицу значений или исследовать функцию на наличие асимптот.