Решите уравнение 2sin2x= 4cosx - sinx + 1

Для решения уравнения $2\sin 2x=4\cos x-\sin x+1$ воспользуемся тригонометрическими формулами и методом группировки. 1. Преобразование уравнения Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Подставим это в уравнение: $2\cdot \left(2\sin x\cos x\right)=4\cos x-\sin x+1$ $4\sin x\cos x-4\cos x+\sin x-1=0$ 2. Группировка слагаемых Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: $(4\sin x\cos x-4\cos x)+(\sin x-1)=0$ Вынесем общий множитель $4\cos x$ из первой скобки: $4\cos x(\sin x-1)+1\cdot (\sin x-1)=0$ Теперь вынесем общий множитель $(\sin x-1)$: $(\sin x-1)(4\cos x+1)=0$ 3. Решение простейших уравнений Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: А) $\sin x-1=0$ $\sin x=1$ Это частный случай на тригонометрическом круге: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Б) $4\cos x+1=0$ $4\cos x=-1$ $\cos x=-\frac{1}{4}$ Используем формулу для арккосинуса: $x=\pm \arccos (-\frac{1}{4})+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Так как $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$, решение можно записать в виде: $x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{4})+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ ; $x=\pm (\pi -\arccos \frac{1}{4})+2\pi k,\text{где}n,k\in \mathbb{Z}$ . Если вам нужно отобрать корни на определенном промежутке, укажите его в следующем сообщении.