Исследовать функцию: y=x^2/(x-1)

Для полного исследования функции $y=\frac{x^2}{x-1}$ воспользуемся стандартным алгоритмом математического анализа. 1. Область определения и точки разрыва Функция определена везде, кроме случая, когда знаменатель равен нулю:

• Область определения: $D\left(y\right)=(-\infty ;1)\cup (1;+\infty )$. Точка разрыва: $x=1$.

2. Четность, нечетность и периодичность

• $y(-x)=\frac{(-x{)}^2}{-x-1}=\frac{x^2}{-(x+1)}$ . $y(-x)\ne y\left(x\right)$ и $y(-x)\ne -y\left(x\right)$.
  Функция общего вида (ни четная, ни нечетная), непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

• С осью $Oy$: при $x=0y=0$. Точка $(0;0)$. С осью $Ox$: $y=0x^2=0x=0$.

4. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: так как $\underset{x{1}^{-}}{\lim }\frac{x^2}{x-1}=-\infty$ и $\underset{x{1}^{+}}{\lim }\frac{x^2}{x-1}=+\infty$ , прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. Наклонная асимптота: $y=kx+b$.
  • $k=\underset{x\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\infty }{\lim }\frac{x^2}{x(x-1)}=1$ . $b=\underset{x\infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x\infty }{\lim }(\frac{x^2}{x-1}-x)=\underset{x\infty }{\lim }\frac{x^2-x^2+x}{x-1}=1$ .
    Уравнение наклонной асимптоты: $y=x+1$.

5. Монотонность и экстремумы Найдем производную функции: $y^{\prime }=\frac{\left(x^2{)}^{\prime }\right(x-1)-x^2(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ Критические точки: $x=0$ и $x=2$ ( $x=1$ — точка разрыва).

• На интервале $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }>0$ (возрастает). На интервале $(0;1)$: $y^{\prime }<0$ (убывает). На интервале $(1;2)$: $y^{\prime }<0$ (убывает). На интервале $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (возрастает).

Экстремумы:

• $x_{max}=0$, $y\left(0\right)=0$. Точка максимума $(0;0)$. $x_{min}=2$, $y\left(2\right)=4$. Точка минимума $(2;4)$.

6. Выпуклость и точки перегиба Найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }={\left(\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}\right)}^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-1{)}^2-(x^2-2x)\cdot 2(x-1)}{(x-1{)}^4}=\frac{2(x-1{)}^2-2x^2+4x}{(x-1{)}^3}=\frac{2}{(x-1{)}^3}$

• При $x<1$: $y^{\prime \prime }<0$. График выпуклый вверх (вогнутый). При $x>1$: $y^{\prime \prime }>0$. График выпуклый вниз (выпуклый).
  Точек перегиба нет, так как $y^{\prime \prime }\ne 0$ на всей области определения.

Сводная таблица данных

Могу ли я помочь вам построить график этой функции или вычислить конкретные значения в определенных точках?