Решите уравнение: 2sin^2x-7cosx+2=0

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x-7\cos x+2=0$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, чтобы привести уравнение к одной функции: $2(1-{\cos }^{2}x)-7\cos x+2=0$Раскроем скобки: $2-2{\cos }^{2}x-7\cos x+2=0$Приведем подобные слагаемые и умножим все уравнение на $-1$: $2{\cos }^{2}x+7\cos x-4=0$2. Введение новой переменной Пусть $\cos x=t$, где область допустимых значений $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2+7t-4=0$3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=7^2-4\cdot 2\cdot \left(-4\right)=49+32=81$ $\sqrt{D}=9$ Вычислим корни:

• $t_1=\frac{-7+9}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-7-9}{2\cdot 2}=\frac{-16}{4}=-4$

4. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $\left|t\right|\le 1$:

1. $t_2=-4$ — не удовлетворяет условию (корней нет, так как косинус не может быть меньше $-1$). $t_1=\frac{1}{2}$ — удовлетворяет условию.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $\cos x=\frac{1}{2}$ Используя общую формулу для косинуса $x=\pm \arccos \left(a\right)+2\pi n$: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я отобрал корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке?