Log2(x+2)^2+log2 (x+10)^2=4log2 3

Question

Log2(x+2)^2+log2 (x+10)^2=4log2 3

xX_Summer_Xx 03.03.2026 22:35

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения уравнения $\log_{2} (x + 2)^{2} + \log_{2} (x + 10)^{2} = 4 \log_{2} 3 log base 2 of open paren x plus 2 close paren squared plus log base 2 of open paren x plus 10 close paren squared equals 4 log base 2 of 3$ воспользуемся свойствами логарифмов и методами решения алгебраических уравнений. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифм определен только для положительных чисел. Поскольку аргументы стоят в квадрате, они должны быть не равны нулю:

$(x + 2)^{2} > 0 x \neq -2 open paren x plus 2 close paren squared is greater than 0 implies x is not equal to negative 2$ $(x + 10)^{2} > 0 x \neq -10 open paren x plus 10 close paren squared is greater than 0 implies x is not equal to negative 10$

2. Упрощение уравнения Используем свойства логарифма: $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b c) log base a of b plus log base a of c equals log base a of b c$ и $n \log_{a} b = \log_{a} b^{n} n log base a of b equals log base a of b to the n-th power$ .

Объединим логарифмы в левой части:
$\log_{2} ((x + 2)^{2} \cdot (x + 10)^{2}) = \log_{2} 3^{4} log base 2 of open paren open paren x plus 2 close paren squared center dot open paren x plus 10 close paren squared close paren equals log base 2 of 3 to the fourth power$ Преобразуем правую часть:
$3^{4} = 81 3 to the fourth power equals 81$ Избавимся от знаков логарифма (потенцирование):
$(x + 2)^{2} (x + 10)^{2} = 81 open paren x plus 2 close paren squared open paren x plus 10 close paren squared equals 81$

3. Решение алгебраического уравнения Заметим, что левую часть можно представить как квадрат произведения: ${((x + 2) (x + 10))}^{2} = 81 open paren open paren x plus 2 close paren open paren x plus 10 close paren close paren squared equals 81$ Извлечем квадратный корень из обеих частей. Это дает два случая: Случай А: $(x + 2) (x + 10) = 9 open paren x plus 2 close paren open paren x plus 10 close paren equals 9$ Случай Б: $(x + 2) (x + 10) = -9 open paren x plus 2 close paren open paren x plus 10 close paren equals negative 9$ Решение случая А: $x^{2} + 10 x + 2 x + 20 = 9 x squared plus 10 x plus 2 x plus 20 equals 9$ $x^{2} + 12 x + 11 = 0 x squared plus 12 x plus 11 equals 0$ По теореме Виета или через дискриминант:

$x_{1} = -1 x sub 1 equals negative 1$ $x_{2} = -11 x sub 2 equals negative 11$

Решение случая Б: $x^{2} + 10 x + 2 x + 20 = -9 x squared plus 10 x plus 2 x plus 20 equals negative 9$ $x^{2} + 12 x + 29 = 0 x squared plus 12 x plus 29 equals 0$ Используем формулу корней через дискриминант $D = b^{2} - 4 a c cap D equals b squared minus 4 a c$ : $D = 12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 144 - 116 = 28 cap D equals 12 squared minus 4 center dot 1 center dot 29 equals 144 minus 116 equals 28$ $x = \frac{-12 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-12 \pm 2 \sqrt{7}}{2} x equals the fraction with numerator negative 12 plus or minus the square root of 28 end-root and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator negative 12 plus or minus 2 the square root of 7 end-root and denominator 2 end-fraction$

$x_{3} = -6 + \sqrt{7} x sub 3 equals negative 6 plus the square root of 7 end-root$ $x_{4} = -6 - \sqrt{7} x sub 4 equals negative 6 minus the square root of 7 end-root$

4. Проверка ОДЗ и итоговый результат Все найденные значения ( $x = -1, -11, -6 \pm \sqrt{7} x equals negative 1 comma negative 11 comma negative 6 plus or minus the square root of 7 end-root$ ) не равны $-2 negative 2$ и $-10 negative 10$ , следовательно, все они являются корнями уравнения. Ответ: $x_{1} = -1 x sub 1 equals negative 1$ $x_{2} = -11 x sub 2 equals negative 11$ $x_{3} = -6 + \sqrt{7} x sub 3 equals negative 6 plus the square root of 7 end-root$ $x_{4} = -6 - \sqrt{7} x sub 4 equals negative 6 minus the square root of 7 end-root$ Я могу помочь с графическим представлением этих функций или решением аналогичных уравнений с другими основаниями. Хотите разобрать проверку одного из корней?

Log2(x+2)^2+log2 (x+10)^2=4log2 3

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов