Решите уравнение кубический корень из 81x + куб. корень из 243x^2 = 6

Решениями данного уравнения являются $x_1=\frac{1}{3}$ и $x_2=-\frac{8}{3}$ . Шаг 1: Упрощение радикалов Преобразуем подкоренные выражения, выделяя полные кубы:

1. Для первого слагаемого: $\sqrt[3]{81x}=\sqrt[3]{27\cdot 3x}=3\sqrt[3]{3x}$ . Для второго слагаемого: $\sqrt[3]{243x^2}=\sqrt[3]{27\cdot 9x^2}=3\sqrt[3]{9x^2}$ .

Заметим, что $9x^2=(3x{)}^2$, следовательно: $3\sqrt[3]{3x}+3\sqrt[3]{(3x{)}^2}=6$ Шаг 2: Введение новой переменной Разделим обе части уравнения на 3: $\sqrt[3]{3x}+\sqrt[3]{(3x{)}^2}=2$ Пусть $t=\sqrt[3]{3x}$ . Тогда уравнение принимает вид квадратного: $t^2+t-2=0$Шаг 3: Решение квадратного уравнения Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета: $(t+2)(t-1)=0$ Отсюда получаем два значения для $t$:

1. $t_1=1$ $t_2=-2$

Шаг 4: Нахождение x Вернемся к замене $t=\sqrt[3]{3x}$ :

1. Если $t=1$:
   $\sqrt[3]{3x}=1⟹3x=1^3⟹x_1=\frac{1}{3}$ Если $t=-2$:
   $\sqrt[3]{3x}=-2⟹3x=(-2{)}^3⟹3x=-8⟹x_2=-\frac{8}{3}$

Ответ: $x_1=\frac{1}{3}$ , $x_2=-\frac{8}{3}$ (или $-2\frac{2}{3}$ ) Нужна ли вам помощь с проверкой этих корней или графической интерпретацией решения?