Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке, ограниченную графиком функции f(x) = x ^ 2 + 1 прямыми x = - 1 x = 3 и осью ох.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f\left(x\right)=x^2+1$, прямыми $x=-1$, $x=3$ и осью $Ox$, равна $13\frac{1}{3}$ (или $\frac{40}{3}$ ). Шаг 1: Постановка задачи через определенный интеграл Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной положительной функцией $f\left(x\right)$ на отрезке $[a,b]$, используется определенный интеграл. В данном случае функция $f\left(x\right)=x^2+1$ всегда принимает положительные значения. Границы интегрирования заданы прямыми $x=-1$ (нижний предел $a$) и $x=3$ (верхний предел $b$). Таким образом, формула площади имеет вид: $S={\int }_{-1}^3(x^2+1)dx$Шаг 2: Нахождение первообразной функции Для вычисления интеграла необходимо найти первообразную функции $f\left(x\right)=x^2+1$. Используя правила интегрирования степенной функции $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ и константы $\int kdx=kx$, получаем: $F\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+x$ Шаг 3: Вычисление значения по формуле Ньютона-Лейбница Применим формулу Ньютона-Лейбница $S=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, подставив верхний и нижний пределы интегрирования в полученную первообразную:

1. Вычислим значение при $x=3$: $F\left(3\right)=\frac{3^3}{3}+3=\frac{27}{3}+3=9+3=12$ Вычислим значение при $x=-1$: $F\left(-1\right)=\frac{(-1{)}^3}{3}+\left(-1\right)=-\frac{1}{3}-1=-\frac{4}{3}$ Найдем разность: $S=12-(-\frac{4}{3})=12+\frac{4}{3}=\frac{36}{3}+\frac{4}{3}=\frac{40}{3}$

Ответ: Площадь криволинейной трапеции составляет $\frac{40}{3}$ квадратных единиц, что равно $13\frac{1}{3}$ (или приблизительно $13.33$). Требуется ли вам построение графика данной функции или расчет площади для других пределов интегрирования?