Решить:9^sinx + 9^(-sinx)=10/3

Для решения уравнения $9^{\sin x}+9^{-\sin x}=\frac{10}{3}$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение новой переменной Заметим, что $9^{-\sin x}=\frac{1}{9^{\sin x}}$ . Пусть: $t=9^{\sin x}$Так как показательная функция всегда положительна, имеем ограничение $t>0$. Подставим $t$ в исходное уравнение: $t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}$ 2. Решение квадратного уравнения Умножим обе части уравнения на $3t$ (где $t\ne 0$), чтобы избавиться от знаменателя: $3t^2+3=10t$ $3t^2-10t+3=0$Найдем дискриминант $D$: $D=(-10{)}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64$Находим корни $t$: $t_1=\frac{10+\sqrt{64}}{2\cdot 3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$ $t_2=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ Оба корня удовлетворяют условию $t>0$. 3. Обратная подстановка Рассмотрим два случая: Случай 1: $t=3$ $9^{\sin x}=3$ $(3^2{)}^{\sin x}=3^1$ $3^{2\sin x}=3^1$ $2\sin x=1$ $\sin x=\frac{1}{2}$ Решение: $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $t=\frac{1}{3}$ $9^{\sin x}=\frac{1}{3}$ $3^{2\sin x}=3^{-1}$ $2\sin x=-1$ $\sin x=-\frac{1}{2}$ Решение: $x=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 4. Объединение ответов Эти две группы решений можно записать в более компактном виде, объединив их: $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу также помочь с отбором корней на конкретном промежутке, если это необходимо.