Решите уравнение sin^2 x-5sinx*cosx+6cos^ 2x=0

Для решения уравнения ${\sin }^{2}x-5\sin x\cos x+6{\cos }^{2}x=0$ воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Проверка случая $\cos x=0$ Если мы предположим, что $\cos x=0$, то уравнение примет вид ${\sin }^{2}x-0+0=0$, следовательно, $\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Значит, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$. 2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Разделим каждое слагаемое на ${\cos }^{2}x$: $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{5\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{6{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ Используя определение тангенса ( $\text{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ), получаем квадратное уравнение относительно $\text{tg}x$: ${\text{tg}}^{2}x-5\text{tg}x+6=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\text{tg}x$. Тогда уравнение выглядит так: $t^2-5t+6=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=5$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=6$

Корни уравнения:

1. $t_1=2$ $t_2=3$

4. Обратная подстановка Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения: Случай 1: $\text{tg}x=2$ $x_1=\text{arctg}\left(2\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$Случай 2: $\text{tg}x=3$ $x_2=\text{arctg}\left(3\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$Ответ: $x=\text{arctg}\left(2\right)+\pi n$; $x=\text{arctg}\left(3\right)+\pi k$, где $n,k\in \mathbb{Z}$. Хотите, чтобы я проверил решение аналогичного уравнения с другими коэффициентами?