Решите уравнения log2(3x-6)=log2(2x-3)

Для решения уравнения ${\log }_2(3x-6)={\log }_2(2x-3)$ воспользуемся методом приравнивания аргументов логарифмической функции и обязательным учетом области допустимых значений (ОДЗ). 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Следовательно, необходимо выполнение системы неравенств: $\{\begin{array}{c}3x-6>0\\ 2x-3>0\end{array}$

• Из первого неравенства: $3x>6⟹\mathbf{x}\mathbf{>}\mathbf{2}$ Из второго неравенства: $2x>3⟹\mathbf{x}\mathbf{>}1.5$

Общим решением системы является интервал: $x\in (2;+\infty )$. 2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны (оба равны 2), мы можем приравнять их аргументы: $3x-6=2x-3$Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные числа — в правую: $3x-2x=-3+6$ $x=3$3. Проверка корня по ОДЗ Проверим, входит ли полученное значение $x=3$ в область допустимых значений $x>2$: $3>2\text{(Верно)}$Также можно подставить значение в исходные аргументы:

• $3\left(3\right)-6=3>0$ $2\left(3\right)-3=3>0$

Оба условия выполняются. Ответ: $x=3$ Я могу помочь вам решить другие логарифмические уравнения или разобрать более сложные системы неравенств. Хотите, чтобы я подобрал аналогичный пример для закрепления материала?