Сформулируйте признак касательной

В геометрии признак касательной позволяет однозначно определить, является ли данная прямая касательной к окружности. Формулировка признака Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной к этой окружности. Подробное объяснение и доказательство Чтобы лучше понять этот признак, следует рассмотреть логику его доказательства методом «от противного»:

1. Условие: Имеется окружность с центром в точке $O$ и прямая $p$, проходящая через точку $A$, лежащую на окружности. При этом радиус $OA⟂p$. Предположение: Допустим, прямая $p$ не является касательной. В таком случае она должна иметь с окружностью ещё одну общую точку (пусть это будет точка $B$). Анализ: Если точка $B$ лежит на окружности, то $OB=OA$ (как радиусы). Следовательно, треугольник $OAB$ является равнобедренным. Противоречие: В равнобедренном треугольнике углы при основании должны быть равны ( $\angle OAB=\angle OBA$). Но по условию $\angle OAB={90}^{\circ }$. Если $\angle OBA$ тоже равен ${90}^{\circ }$, то сумма углов треугольника превысит ${180}^{\circ }$, что невозможно. Вывод: Прямая не может иметь вторую общую точку с окружностью. Значит, она касается её только в точке $A$.

Важные свойства для запоминания

• Расстояние до центра: Из признака следует, что расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу ( $d=r$). Единственность: Через любую точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную. Взаимосвязь: Признак является обратным утверждением к свойству касательной (которое гласит, что касательная перпендикулярна радиусу).

Хотите, чтобы я разобрал решение конкретной задачи, в которой применяется этот признак?