Какие из утверждений верны? 1) все диаметры окружности равны. 2) в любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3) в прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Из приведенных утверждений верными являются 1 и 3. Правильные утверждения

• 1) Все диаметры окружности равны.
  Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Согласно определению окружности как множества точек, равноудаленных от центра, любой диаметр равен двум радиусам ( $D=2r$), а так как радиус окружности неизменен, то и все ее диаметры равны между собой. 3) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
  Это классическая теорема геометрии. Она доказывается через достроение треугольника до равностороннего или через определение синуса угла в 30 градусов ( $\sin {30}^{\circ }=1/2$).

Почему другие утверждения неверны

• 2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
  Это утверждение ложно. Свойством взаимной перпендикулярности диагоналей обладают только те прямоугольники, у которых все стороны равны, то есть квадраты. В общем случае (у обычного прямоугольника с разными сторонами) диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, но угол между ними не равен 90 градусам. Взаимная перпендикулярность диагоналей — это специфическое свойство ромба (и квадрата как частного случая ромба).

Продолжить ли разбор других свойств этих геометрических фигур или перейти к решению конкретных задач на их основе?