Sin x - корень из 3* cosx=1

Для решения уравнения $\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. 1. Преобразование левой части Разделим обе части уравнения на $2$, так как коэффициенты при функциях ( $1$ и $\sqrt{3}$ ) соответствуют значениям катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$ . $\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}$ Заметим, что $\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$ , а $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ . Подставим эти значения: $\cos \frac{\pi }{3}\cdot \sin x-\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos x=\frac{1}{2}$ 2. Применение тригонометрической формулы Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности: $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$. Перепишем уравнение: $\sin (x-\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}$ 3. Решение простейшего уравнения Для уравнения $\sin \theta =a$ общая формула корней имеет вид: $\theta =(-1{)}^k\arcsin a+\pi k,k\in \mathbb{Z}$В нашем случае: $x-\frac{\pi }{3}=(-1{)}^k\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+\pi k$ $x-\frac{\pi }{3}=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k$ Переносим $\frac{\pi }{3}$ в правую часть: $x=\frac{\pi }{3}+(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Альтернативная запись ответа (разбиение на две серии) Иногда удобнее представить решение в виде двух отдельных серий корней:

1. Если $k$ — четное ( $k=2n$):
   $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2\pi n⟹x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ Если $k$ — нечетное ( $k=2n+1$):
   $x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2\pi n⟹x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$

Ответ: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n$ , где $n\in \mathbb{Z}$. Я могу помочь вам произвести отбор корней этого уравнения на заданном промежутке, если это необходимо.