Sin^2x -2sinxcosx -3cos^2x=0

Для решения уравнения ${\sin }^{2}x-2\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0$ воспользуемся методом сведения к квадратному уравнению относительно тангенса. 1. Проверка случая $\cos x=0$ Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид ${\sin }^{2}x-0-0=0$, откуда $\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Следовательно, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$. 2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Разделим каждое слагаемое на ${\cos }^{2}x$: $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ Используя определения $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ , получаем: ${\tan }^{2}x-2\tan x-3=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\tan x$. Тогда уравнение примет вид: $t^2-2t-3=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=2$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-3$

Корни уравнения:

1. $t_1=3$ $t_2=-1$

4. Обратная замена Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения: Случай 1: $\tan x=3$ $x=\arctan \left(3\right)+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$Случай 2: $\tan x=-1$ $x=\arctan \left(-1\right)+\pi k=-\frac{\pi }{4}+\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Ответ:

• $x_1=\arctan \left(3\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x_2=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Требуется ли вам произвести отбор корней на конкретном числовом промежутке?