Sin^2 x-5 sin x cos x +4cos^2x=0

Для решения уравнения ${\sin }^{2}x-5\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x=0$ воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Проверка условия $\cos x=0$ Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид ${\sin }^{2}x=0$, откуда $\sin x=0$. Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Следовательно, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$. 2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Разделим каждый член уравнения на ${\cos }^{2}x$: $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{5\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+\frac{4{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ ${\tan }^{2}x-5\tan x+4=0$3. Введение новой переменной Пусть $t=\tan x$. Тогда уравнение становится квадратным: $t^2-5t+4=0$4. Решение квадратного уравнения Для нахождения корней воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом:

• Сумма корней: $t_1+t_2=5$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=4$

Корни уравнения:

1. $t_1=1$ $t_2=4$

5. Обратная подстановка Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения:

• Случай 1: $\tan x=1$
  Согласно таблице значений тригонометрических функций:
  $x=\frac{\pi }{4}+\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan x=4$
  Поскольку это не табличное значение, используем арктангенс:
  $x=\arctan \left(4\right)+\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$

Ответ:

• $x_1=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x_2=\arctan \left(4\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Требуется ли вам произвести отбор корней на каком-либо конкретном промежутке?