Найти f'(27),если f(x) = x^3/4

Для нахождения значения производной функции $f\left(x\right)=x^{3/4}$ в точке $x=27$ воспользуемся правилами дифференцирования степенной функции. 1. Нахождение производной в общем виде Используем формулу $\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}$ . В данном случае $n=\frac{3}{4}$ . $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{4}\cdot x^{\frac{3}{4}-1}$ $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{1}{4}}$ Для удобства вычислений перепишем выражение, избавившись от отрицательной степени: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{4\cdot \sqrt[4]{x}}$ 2. Подстановка значения x = 27 Теперь подставим $x=27$ в полученную формулу производной: $f^{\prime }\left(27\right)=\frac{3}{4\cdot \sqrt[4]{27}}$ Заметим, что $27=3^3$. Подставим это значение под корень: $f^{\prime }\left(27\right)=\frac{3}{4\cdot \sqrt[4]{3^3}}$ $f^{\prime }\left(27\right)=\frac{3}{4\cdot 3^{3/4}}$ 3. Упрощение результата Разделим числитель на знаменатель, используя свойства степеней ( $a^m/a^n=a^{m-n}$): $f^{\prime }\left(27\right)=\frac{3^1}{4\cdot 3^{3/4}}=\frac{1}{4}\cdot 3^{1-3/4}=\frac{1}{4}\cdot 3^{1/4}$ Таким образом: $f^{\prime }\left(27\right)=\frac{\sqrt[4]{3}}{4}$ Ответ: $f^{\prime }\left(27\right)=\frac{\sqrt[4]{3}}{4}\approx 0.329$ Я могу также рассчитать значение производной для другой точки или найти вторую производную этой функции, если это необходимо.