Sin^2(x)+cos^2(2x)=1

Для решения уравнения ${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(2x\right)=1$ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами и методами разложения на множители. 1. Преобразование уравнения Перенесем ${\sin }^2\left(x\right)$ в правую часть уравнения: ${\cos }^2\left(2x\right)=1-{\sin }^2\left(x\right)$Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\left(\alpha \right)+{\cos }^2\left(\alpha \right)=1$, заменим правую часть на ${\cos }^2\left(x\right)$: ${\cos }^2\left(2x\right)={\cos }^2\left(x\right)$2. Разложение на множители Перенесем все члены в левую часть, чтобы использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: ${\cos }^2\left(2x\right)-{\cos }^2\left(x\right)=0$ $\left(\cos \right(2x)-\cos (x\left)\right)\left(\cos \right(2x)+\cos (x\left)\right)=0$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая. 3. Решение первого уравнения: $\cos \left(2x\right)-\cos \left(x\right)=0$ Применим формулу разности косинусов $\cos \left(A\right)-\cos \left(B\right)=-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ : $-2\sin \left(\frac{2x+x}{2}\right)\sin \left(\frac{2x-x}{2}\right)=0$ $-2\sin \left(\frac{3x}{2}\right)\sin \left(\frac{x}{2}\right)=0$ Это дает две совокупности решений:

1. $\sin \left(\frac{3x}{2}\right)=0⟹\frac{3x}{2}=\pi n⟹\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }\mathbf{n}}{\mathbf{3}},n\in \mathbb{Z}$ $\sin \left(\frac{x}{2}\right)=0⟹\frac{x}{2}=\pi n⟹\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\pi }\mathbf{n},n\in \mathbb{Z}$

Заметим, что корни $2\pi n$ уже содержатся в первой серии решений $\frac{2\pi n}{3}$ (при $n$, кратном 3). 4. Решение второго уравнения: $\cos \left(2x\right)+\cos \left(x\right)=0$ Применим формулу суммы косинусов $\cos \left(A\right)+\cos \left(B\right)=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ : $2\cos \left(\frac{2x+x}{2}\right)\cos \left(\frac{2x-x}{2}\right)=0$ $2\cos \left(\frac{3x}{2}\right)\cos \left(\frac{x}{2}\right)=0$ Это дает еще две совокупности решений:

1. $\cos \left(\frac{3x}{2}\right)=0⟹\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k⟹3x=\pi +2\pi k⟹\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }\mathbf{k}}{\mathbf{3}},k\in \mathbb{Z}$ $\cos \left(\frac{x}{2}\right)=0⟹\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k⟹\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{\pi }\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\pi }\mathbf{k},k\in \mathbb{Z}$

Корни $\pi +2\pi k$ также содержатся в серии $\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi k}{3}$ (при $k=1,4,7\dots$). 5. Объединение результатов Мы получили две основные серии решений:

1. $x=\frac{2\pi n}{3}$ $x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3}$

Эти две серии можно объединить в одну более компактную запись. Если нанести их на числовую окружность, мы увидим точки: $0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi ,\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$ . Это соответствует шагу в $\frac{\pi }{3}$ . Ответ: $x=\frac{\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}$ Хотите, чтобы я выполнил отбор корней этого уравнения на конкретном интервале?