Решить уравнение:3cos^2x+2sinxcosx-sin^2x=0

Для решения уравнения $3{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x-{\sin }^{2}x=0$ воспользуемся методом решения однородных тригонометрических уравнений второй степени. 1. Проверка на исключения Проверим, может ли $\cos x$ быть равен $0$. Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид: $3(0{)}^2+2\sin x\cdot 0-{\sin }^{2}x=0$ ${\sin }^{2}x=0\sin x=0$ Однако $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю согласно основному тригонометрическому тождеству ( ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$). Следовательно, $\cos x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$. 2. Деление на ${\cos }^{2}x$ Разделим каждое слагаемое на ${\cos }^{2}x$: $\frac{3{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{2\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0$ Используя определение тангенса $(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x})$ , получаем квадратное уравнение относительно $\tan x$: $3+2\tan x-{\tan }^{2}x=0$3. Решение квадратного уравнения Для удобства умножим уравнение на $-1$ и введем замену $t=\tan x$: $t^2-2t-3=0$Найдем корни через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $t_1+t_2=2$ Произведение корней: $t_1\cdot t_2=-3$

Корни уравнения:

1. $t_1=3$ $t_2=-1$

4. Обратная замена Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения: Случай 1: $\tan x=3$ $x=\arctan \left(3\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\tan x=-1$ $x=\arctan \left(-1\right)+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x_1=\arctan \left(3\right)+\pi n$; $x_2=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ , где $n,k\in \mathbb{Z}$. Я могу также выполнить отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо. Хотите, чтобы я это сделал?