Решить уравнение 4^х + 7 * 2^x-1 = 4,5

Для решения уравнения $4^x+7\cdot 2^{x-1}=4,5$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование уравнения Сначала приведем все степени к основанию $2$ и упростим слагаемые:

• $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$ $2^{x-1}=2^x\cdot 2^{-1}=\frac{2^x}{2}=0,5\cdot 2^x$

Подставим эти значения в исходное уравнение: $(2^x{)}^2+7\cdot 0,5\cdot 2^x=4,5$ $(2^x{)}^2+3,5\cdot 2^x-4,5=0$ 2. Введение новой переменной Пусть $t=2^x$. Учитывая свойства показательной функции, вводим ограничение: $t>0$. Получаем квадратное уравнение: $t^2+3,5t-4,5=0$ Для удобства вычислений умножим все части уравнения на $2$: $2t^2+7t-9=0$ 3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=7^2-4\cdot 2\cdot \left(-9\right)$ $D=49+72=121$ $\sqrt{D}=11$ Находим корни $t$: $t_1=\frac{-7+11}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$ $t_2=\frac{-7-11}{2\cdot 2}=\frac{-18}{4}=-4,5$ 4. Обратная подстановка Проверим корни на соответствие условию $t>0$:

1. $t_1=1$: подходит, так как $1>0$. $t_2=-4,5$: не подходит, так как значение показательной функции не может быть отрицательным.

Решим уравнение для $t_1$: $2^x=1$ $2^x=2^0$ $x=0$ Ответ: $x=0$ Я могу составить для вас аналогичные задачи для закрепления темы или помочь с разбором более сложных логарифмических уравнений. Хотите, чтобы я подготовил краткий тест по этой теме?