Сколько плоскостей определяется четырьмя вершинами куба, не лежащими в плоскости одной грани? (ответ обосновать)

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть геометрию куба и возможные комбинации его вершин. Анализ условий Куб имеет 8 вершин. По условию нам нужно выбрать 4 вершины, которые не лежат в плоскости одной грани. В кубе любая грань содержит 4 вершины. Если выбранные 4 вершины не принадлежат одной грани, они образуют фигуру, называемую правильным тетраэдром. Определение количества плоскостей Любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Чтобы найти общее количество плоскостей, определяемых четырьмя точками (вершинами тетраэдра), нужно рассмотреть сочетания из 4 по 3: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ $C_4^3=\frac{4!}{3!(4-3)!}=4$ Таким образом, четыре вершины тетраэдра определяют 4 различные плоскости (каждая плоскость проходит через три вершины, образуя грань тетраэдра). Обоснование структуры вершин Существует два набора по 4 вершины, которые удовлетворяют условию (не лежат в одной грани). Это вершины, взятые "через одну".

1. Первый набор: Если обозначить вершины нижнего основания как $A,B,C,D$ и верхнего как $A_1,B_1,C_1,D_1$, то вершины $\{A,C,B_1,D_1\}$ не лежат в одной грани. Свойства: В таком наборе любые три точки не лежат на одной прямой (так как это диагонали граней или ребра, не являющиеся коллинеарными). Отсутствие компланарности: Поскольку по условию все 4 точки не лежат в одной плоскости, любые три из них образуют уникальную плоскость, которая не содержит четвертую точку.

Итог Четыре вершины куба, не лежащие в одной грани, определяют 4 плоскости. Каждая из этих плоскостей проходит через три выбранные вершины и является гранью вписанного в куб правильного тетраэдра. Хотите, чтобы я рассчитал расстояние между этими плоскостями или их углы наклона относительно граней куба?