Дан тетраэдр sabc, все рёбра которого равны 4. на ребре ab отмечена точка k так, что ak=kb. найдите площадь сечения данного тетраэдра плоскостью, проходящей через точку k и перпендикулярной ребру sa.

Question

Дан тетраэдр sabc, все рёбра которого равны 4. на ребре ab отмечена точка k так, что ak=kb. найдите площадь сечения данного тетраэдра плоскостью, проходящей через точку k и перпендикулярной ребру sa.

future_zinc 24.01.2026 18:58

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Площадь сечения тетраэдра $S A B C cap S cap A cap B cap C$ плоскостью, проходящей через середину ребра $A B cap A cap B$ (точку $K cap K$ ) перпендикулярно ребру $S A cap S cap A$ , равна $\sqrt{2} the square root of 2 end-root$ . ️ Шаг 1: Определение положения плоскости сечения Пусть все рёбра тетраэдра $S A B C cap S cap A cap B cap C$ равны $a = 4 a equals 4$ . Точка $K cap K$ — середина $A B cap A cap B$ . Плоскость сечения $α alpha$ проходит через $K cap K$ и $α ⟂ S A alpha ⟂ cap S cap A$ . Так как тетраэдр правильный, проекция вершины $S cap S$ на плоскость основания $A B C cap A cap B cap C$ попадает в центр $O cap O$ треугольника $A B C cap A cap B cap C$ . Рассмотрим треугольник $S A B cap S cap A cap B$ . Он равносторонний, поэтому высота $S K = a \frac{\sqrt{3}}{2} cap S cap K equals a the fraction with numerator the square root of 3 end-root and denominator 2 end-fraction$ . Однако плоскость перпендикулярна ребру $S A cap S cap A$ , а не лежит в медианах. Найдём точку $M cap M$ на ребре $S A cap S cap A$ , такую что $K M ⟂ S A cap K cap M ⟂ cap S cap A$ . В треугольнике $S A K cap S cap A cap K$ имеем: $S A = 4 cap S cap A equals 4$ , $A K = 2 cap A cap K equals 2$ , $∠ S A K = 60^{\circ} angle cap S cap A cap K equals 60 raised to the composed with power$ . По теореме косинусов: $S K^{2} = S A^{2} + A K^{2} - 2 \cdot S A \cdot A K \cdot \cos (60^{\circ}) = 16 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 12 ⟹ S K = 2 \sqrt{3} cap S cap K squared equals cap S cap A squared plus cap A cap K squared minus 2 center dot cap S cap A center dot cap A cap K center dot cosine open paren 60 raised to the composed with power close paren equals 16 plus 4 minus 2 center dot 4 center dot 2 center dot one-half equals 12 ⟹ cap S cap K equals 2 the square root of 3 end-root$ Для перпендикулярности $K M ⟂ S A cap K cap M ⟂ cap S cap A$ точка $M cap M$ должна быть проекцией $K cap K$ на $S A cap S cap A$ . В прямоугольном треугольнике $A M K cap A cap M cap K$ : $A M = A K \cdot \cos (60^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 cap A cap M equals cap A cap K center dot cosine open paren 60 raised to the composed with power close paren equals 2 center dot one-half equals 1$ То есть $M cap M$ лежит на $S A cap S cap A$ и делит его в отношении $A M ∶ M S = 1 ∶ 3 cap A cap M colon cap M cap S equals 1 colon 3$ . ️ Шаг 2: Построение сечения и нахождение точек пересечения Аналогично, из-за симметрии относительно плоскости $S A B cap S cap A cap B$ и $S A C cap S cap A cap C$ , сечение пересечёт ребро $A C cap A cap C$ в точке $L cap L$ , такой что $A L = A K = 2 cap A cap L equals cap A cap K equals 2$ (середина $A C cap A cap C$ ). Тогда $M L ⟂ S A cap M cap L ⟂ cap S cap A$ . Таким образом, сечением является треугольник $K M L cap K cap M cap L$ . Поскольку $A K = A L = 2 cap A cap K equals cap A cap L equals 2$ и $∠ K A L = 60^{\circ} angle cap K cap A cap L equals 60 raised to the composed with power$ , треугольник $A K L cap A cap K cap L$ равносторонний со стороной $K L = 2 cap K cap L equals 2$ . В прямоугольном треугольнике $A M K cap A cap M cap K$ катет $K M cap K cap M$ : $K M = A K \cdot \sin (60^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} cap K cap M equals cap A cap K center dot sine open paren 60 raised to the composed with power close paren equals 2 center dot the fraction with numerator the square root of 3 end-root and denominator 2 end-fraction equals the square root of 3 end-root$ Из симметрии $M L = K M = \sqrt{3} cap M cap L equals cap K cap M equals the square root of 3 end-root$ . ️ Шаг 3: Вычисление площади сечения Сечение представляет собой равнобедренный треугольник $K M L cap K cap M cap L$ со сторонами $K L = 2 cap K cap L equals 2$ и $K M = M L = \sqrt{3} cap K cap M equals cap M cap L equals the square root of 3 end-root$ . Найдём высоту $h h$ этого треугольника, проведённую к основанию $K L cap K cap L$ : $h = \sqrt{K M^{2} - (\frac{K L}{2})^{2}} = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2} h equals the square root of cap K cap M squared minus open paren the fraction with numerator cap K cap L and denominator 2 end-fraction close paren squared end-root equals the square root of open paren the square root of 3 end-root close paren squared minus 1 squared end-root equals the square root of 3 minus 1 end-root equals the square root of 2 end-root$ Площадь треугольника $K M L cap K cap M cap L$ : $S = \frac{1}{2} \cdot K L \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} cap S equals one-half center dot cap K cap L center dot h equals one-half center dot 2 center dot the square root of 2 end-root equals the square root of 2 end-root$ Ответ: \sqrt{2} Требуется ли вам построение чертежа этого сечения или расчет для другого положения точки К?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов