Площадь боковой поверхности правильной усечённой четырёхугольной пирамиды abcda1b1c1d1 равна 288 корней из 3. известно, что a1b1:aa1:ab, как 1:2:3. найди длину бокового ребра пирамиды.

Question

Площадь боковой поверхности правильной усечённой четырёхугольной пирамиды abcda1b1c1d1 равна 288 корней из 3. известно, что a1b1:aa1:ab, как 1:2:3. найди длину бокового ребра пирамиды.

RAP4061 01.02.2026 03:26

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Длина бокового ребра пирамиды равна 12. ️ Шаг 1: Введение переменных и анализ отношений Пусть коэффициент пропорциональности равен $x x$ . Исходя из условия задачи $A_{1} B_{1} ∶ A A_{1} ∶ A B = 1 ∶ 2 ∶ 3 cap A sub 1 cap B sub 1 colon cap A cap A sub 1 colon cap A cap B equals 1 colon 2 colon 3$ , выразим основные размеры через $x x$ :

Сторона верхнего основания $a = A_{1} B_{1} = x a equals cap A sub 1 cap B sub 1 equals x$ ; Сторона нижнего основания $b = A B = 3 x b equals cap A cap B equals 3 x$ ; Длина бокового ребра $l = A A_{1} = 2 x l equals cap A cap A sub 1 equals 2 x$ .

️ Шаг 2: Нахождение апофемы боковой грани Боковая грань правильной усечённой пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию. Чтобы найти площадь поверхности, необходимо вычислить высоту этой трапеции (апофему) $h h$ . Опустим перпендикуляр из вершины $A_{1} cap A sub 1$ на основание $A B cap A cap B$ . Проекция бокового ребра на нижнее основание в плоскости грани равна: $p = \frac{b - a}{2} = \frac{3 x - x}{2} = x p equals the fraction with numerator b minus a and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator 3 x minus x and denominator 2 end-fraction equals x$ По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, его проекцией и апофемой: $h = \sqrt{l^{2} - p^{2}} = \sqrt{(2 x)^{2} - x^{2}} = \sqrt{3 x^{2}} = x \sqrt{3} h equals the square root of l squared minus p squared end-root equals the square root of open paren 2 x close paren squared minus x squared end-root equals the square root of 3 x squared end-root equals x the square root of 3 end-root$ ️ Шаг 3: Составление уравнения для площади Площадь боковой поверхности $S_{b o k} cap S sub b o k end-sub$ состоит из четырёх равных трапеций. Формула площади боковой поверхности: $S_{b o k} = 4 \cdot \frac{a + b}{2} \cdot h cap S sub b o k end-sub equals 4 center dot the fraction with numerator a plus b and denominator 2 end-fraction center dot h$ Подставим выраженные значения: $S_{b o k} = 4 \cdot \frac{x + 3 x}{2} \cdot x \sqrt{3} = 4 \cdot 2 x \cdot x \sqrt{3} = 8 x^{2} \sqrt{3} cap S sub b o k end-sub equals 4 center dot the fraction with numerator x plus 3 x and denominator 2 end-fraction center dot x the square root of 3 end-root equals 4 center dot 2 x center dot x the square root of 3 end-root equals 8 x squared the square root of 3 end-root$ Приравняем полученное выражение к значению из условия: $8 x^{2} \sqrt{3} = 288 \sqrt{3} 8 x squared the square root of 3 end-root equals 288 the square root of 3 end-root$ $8 x^{2} = 288 8 x squared equals 288$ $x^{2} = 36 x squared equals 36$ $x = 6 x equals 6$ ️ Шаг 4: Вычисление искомого ребра Теперь найдем длину бокового ребра $A A_{1} cap A cap A sub 1$ , используя найденное значение $x x$ : $A A_{1} = 2 x = 2 \cdot 6 = 12 cap A cap A sub 1 equals 2 x equals 2 center dot 6 equals 12$ Ответ: Длина бокового ребра пирамиды равна 12. Требуется ли вам рассчитать объем данной усеченной пирамиды или высоту всей фигуры?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов