Косинус угла между прямыми х-5/4=у+2/-2=z-1/3 и х-1/3=у/-4=z+5/-5 равен

Question

Косинус угла между прямыми х-5/4=у+2/-2=z-1/3 и х-1/3=у/-4=z+5/-5 равен

Пианино473 10.02.2026 14:19

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Косинус угла между данными прямыми равен $\frac{1}{\sqrt{58}} the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 58 end-root end-fraction$ (или $\frac{\sqrt{58}}{58} the fraction with numerator the square root of 58 end-root and denominator 58 end-fraction$ ). Шаг 1: Определение направляющих векторов прямых Из канонических уравнений прямых можно сразу выписать их направляющие векторы, используя коэффициенты в знаменателях: Для первой прямой: $\vec{a_{1}} = (4, -2, 3) modified a sub 1 with right arrow above equals open paren 4 comma negative 2 comma 3 close paren$ Для второй прямой: $\vec{a_{2}} = (3, -4, -5) modified a sub 2 with right arrow above equals open paren 3 comma negative 4 comma negative 5 close paren$ Шаг 2: Вычисление скалярного произведения векторов Скалярное произведение векторов $\vec{a_{1}} modified a sub 1 with right arrow above$ и $\vec{a_{2}} modified a sub 2 with right arrow above$ вычисляется по формуле $\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} modified a sub 1 with right arrow above center dot modified a sub 2 with right arrow above equals x sub 1 x sub 2 plus y sub 1 y sub 2 plus z sub 1 z sub 2$ : $\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}} = 4 \cdot 3 + (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot (-5) = 12 + 8 - 15 = 5 modified a sub 1 with right arrow above center dot modified a sub 2 with right arrow above equals 4 center dot 3 plus open paren negative 2 close paren center dot open paren negative 4 close paren plus 3 center dot open paren negative 5 close paren equals 12 plus 8 minus 15 equals 5$ Шаг 3: Нахождение модулей направляющих векторов Длина (модуль) вектора вычисляется как корень из суммы квадратов его координат: $| \vec{a_{1}} | = \sqrt{4^{2} + (-2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29} the absolute value of modified a sub 1 with right arrow above end-absolute-value equals the square root of 4 squared plus open paren negative 2 close paren squared plus 3 squared end-root equals the square root of 16 plus 4 plus 9 end-root equals the square root of 29 end-root$ $| \vec{a_{2}} | = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} the absolute value of modified a sub 2 with right arrow above end-absolute-value equals the square root of 3 squared plus open paren negative 4 close paren squared plus open paren negative 5 close paren squared end-root equals the square root of 9 plus 16 plus 25 end-root equals the square root of 50 end-root equals 5 the square root of 2 end-root$ Шаг 4: Применение формулы косинуса угла Косинус угла $ϕ phi$ между прямыми определяется через абсолютное значение скалярного произведения их направляющих векторов: $\cos ϕ = \frac{| \vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}} |}{| \vec{a_{1}} | \cdot | \vec{a_{2}} |} cosine phi equals the fraction with numerator the absolute value of modified a sub 1 with right arrow above center dot modified a sub 2 with right arrow above end-absolute-value and denominator the absolute value of modified a sub 1 with right arrow above end-absolute-value center dot the absolute value of modified a sub 2 with right arrow above end-absolute-value end-fraction$ Подставим полученные значения: $\cos ϕ = \frac{5}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{29} \cdot 5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{58}} cosine phi equals the fraction with numerator 5 and denominator the square root of 29 end-root center dot the square root of 50 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 5 and denominator the square root of 29 end-root center dot 5 the square root of 2 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 58 end-root end-fraction$ При необходимости избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos ϕ = \frac{\sqrt{58}}{58} cosine phi equals the fraction with numerator the square root of 58 end-root and denominator 58 end-fraction$ Ответ: Косинус угла между прямыми равен $\frac{1}{\sqrt{58}} the fraction with numerator 1 and denominator the square root of 58 end-root end-fraction$ . Требуется ли вам рассчитать значение самого угла в градусах или радианах на основе полученного косинуса?

Косинус угла между прямыми х-5/4=у+2/-2=z-1/3 и х-1/3=у/-4=z+5/-5 равен

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов