Tg(п/4+a/2)-tg(п/4-a/2)

Для упрощения выражения $\text{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2})-\text{tg}(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2})$ воспользуемся формулами тангенса суммы и разности аргументов, а также табличным значением $\text{tg}\left(\frac{\pi }{4}\right)=1$ . 1. Применение формул сложения Формула тангенса суммы: $\text{tg}(x+y)=\frac{\text{tg}x+\text{tg}y}{1-\text{tg}x\cdot \text{tg}y}$ . Для первого слагаемого ( $x=\frac{\pi }{4},y=\frac{\alpha }{2}$ ): $\text{tg}(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2})=\frac{1+\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-\text{tg}\frac{\alpha }{2}}$ Для второго слагаемого ( $x=\frac{\pi }{4},y=\frac{\alpha }{2}$ ): $\text{tg}(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2})=\frac{1-\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}\frac{\alpha }{2}}$ 2. Вычитание дробей Составим разность и приведем к общему знаменателю $(1-\text{tg}\frac{\alpha }{2})(1+\text{tg}\frac{\alpha }{2})$ : $\frac{1+\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-\text{tg}\frac{\alpha }{2}}-\frac{1-\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1+\text{tg}\frac{\alpha }{2}}=\frac{(1+\text{tg}\frac{\alpha }{2}{)}^2-(1-\text{tg}\frac{\alpha }{2}{)}^2}{1-{\text{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$ 3. Раскрытие скобок и упрощение Раскроем квадраты в числителе: $(1+2\text{tg}\frac{\alpha }{2}+{\text{tg}}^2\frac{\alpha }{2})-(1-2\text{tg}\frac{\alpha }{2}+{\text{tg}}^2\frac{\alpha }{2})=4\text{tg}\frac{\alpha }{2}$ Получаем промежуточное выражение: $\frac{4\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-{\text{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}$ 4. Использование формулы двойного угла Вспомним формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}\left(2x\right)=\frac{2\text{tg}x}{1-{\text{tg}}^{2}x}$ . Преобразуем наше выражение так, чтобы выделить эту формулу: $\frac{4\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-{\text{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}=2\cdot \left(\frac{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}{1-{\text{tg}}^2\frac{\alpha }{2}}\right)=2\cdot \text{tg}(2\cdot \frac{\alpha }{2})=2\text{tg}\alpha$ Ответ: $2\text{tg}\alpha$ Хотите ли вы разобрать другой способ решения через формулу разности тангенсов $\text{tg}x-\text{tg}y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$ ?