Трегогуметрические уровнения sin2x+cos2x=0

Для решения уравнения $\sin 2x+\cos 2x=0$ воспользуемся методом деления на косинус, так как это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решение уравнения 1. Проверка на ОДЗ Если $\cos 2x=0$, то уравнение приняло бы вид $\sin 2x+0=0$, что означало бы $\sin 2x=0$. Однако синус и косинус одного и того же аргумента не могут одновременно равняться нулю (согласно основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$). Следовательно, $\cos 2x\ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$. 2. Деление на $\cos 2x$ $\frac{\sin 2x}{\cos 2x}+\frac{\cos 2x}{\cos 2x}=\frac{0}{\cos 2x}$ Используя определение тангенса $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ , получаем: $\tan 2x+1=0$3. Решение относительно тангенса $\tan 2x=-1$4. Нахождение аргумента По общей формуле для уравнения $\tan t=a$: $t=\arctan \left(a\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$В нашем случае: $2x=\arctan \left(-1\right)+\pi n$ $2x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ 5. Вычисление итогового значения $x$ Разделим обе части на 2: $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Ответ $x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi n}{2},n\in \mathbb{Z}$ Я могу также помочь с отбором корней на конкретном промежутке или решить это уравнение другим способом (например, через введение вспомогательного угла). Хотите рассмотреть альтернативный метод?