Указать промежутки строгой монотонности функции y=1/x

Для определения промежутков строгой монотонности функции $y=\frac{1}{x}$ необходимо исследовать знак её производной и учесть область определения. 1. Область определения функции Функция определена для всех действительных чисел, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль: $D\left(y\right):x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 2. Нахождение производной Для дифференцирования представим функцию в виде степени: $y=x^{-1}$. Применяя правило дифференцирования $x^n=n\cdot x^{n-1}$, получаем: $y^{\prime }=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ 3. Анализ знака производной Чтобы определить монотонность, нужно выяснить, где производная положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает).

• Выражение $x^2$ всегда положительно для любого $x\ne 0$. Следовательно, дробь $\frac{1}{x^2}$ всегда положительна. Из-за знака «минус» перед дробью, значение производной $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательно на всей области определения.

$y^{\prime }<0\text{при}x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$4. Вывод о монотонности Так как производная меньше нуля на каждом из интервалов области определения, функция является строго убывающей на каждом из этих интервалов по отдельности.

Важное замечание: Нельзя сказать, что функция убывает на объединении интервалов $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$, так как при переходе через точку разрыва ( $x=0$) значение функции резко возрастает (с $-\infty$ до $+\infty$). Правильно указывать интервалы через запятую.

Промежутки строгой монотонности:

• Функция строго убывает на интервале $(-\infty ,0)$;
• Функция строго убывает на интервале $(0,+\infty )$.

Я могу помочь вам исследовать эту функцию на наличие экстремумов или точек перегиба. Хотите продолжить анализ?