Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: y = sin ( x - пи/3) sin ( x + пи/3)

Наименьшее значение функции равно -0,75, а наибольшее значение равно 0,25. Шаг 1: Применение тригонометрических формул Для упрощения выражения воспользуемся формулой произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\left(\cos \right(\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta \left)\right)$ . В данном случае $\alpha =x-\frac{\pi }{3}$ и $\beta =x+\frac{\pi }{3}$ . Вычислим разность и сумму аргументов:

1. $\alpha -\beta =(x-\frac{\pi }{3})-(x+\frac{\pi }{3})=-\frac{2\pi }{3}$ $\alpha +\beta =(x-\frac{\pi }{3})+(x+\frac{\pi }{3})=2x$

Подставим эти значения в формулу: $y=\frac{1}{2}\left(\cos \right(-\frac{2\pi }{3})-\cos (2x\left)\right)$ Шаг 2: Упрощение функции Так как косинус — четная функция, $\cos (-\frac{2\pi }{3})=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$ . Известно, что $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$ . Подставим это значение в уравнение: $y=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-\cos (2x\left)\right)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)$ Шаг 3: Нахождение области значений Область значений функции $\cos \left(2x\right)$ — это отрезок $[-1,1]$. Обозначим $u=\cos \left(2x\right)$, тогда $y=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}u$ .

1. Для нахождения наименьшего значения подставим $u=1$:
   $y_{min}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\left(1\right)=-\frac{1}{4}-\frac{2}{4}=-\frac{3}{4}=-0,75$ Для нахождения наибольшего значения подставим $u=-1$:
   $y_{max}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\left(-1\right)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{1}{4}=0,25$

Ответ: Наименьшее значение: -0,75, наибольшее значение: 0,25. Нужно ли вам найти точки, в которых достигаются эти экстремумы?