Упростить sin(альфа + бета) + sin(альфа - бета)

Для упрощения выражения $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$ воспользуемся тригонометрическими формулами синуса суммы и синуса разности двух углов. 1. Применение базовых формул Разложим каждое слагаемое по соответствующей формуле:

• Синус суммы:
  $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ Синус разности:
  $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

2. Сложение выражений Подставим эти разложения в исходное выражение: $\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )=(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )+(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )$3. Приведение подобных слагаемых Заметим, что слагаемые $\cos \alpha \sin \beta$ и $-\cos \alpha \sin \beta$ имеют противоположные знаки, поэтому они взаимно уничтожаются: $\sin \alpha \cos \beta +\overline{)\cos \alpha \sin \beta }+\sin \alpha \cos \beta -\overline{)\cos \alpha \sin \beta }$ Остаются два одинаковых слагаемых $\sin \alpha \cos \beta$: $\sin \alpha \cos \beta +\sin \alpha \cos \beta =2\sin \alpha \cos \beta$Итоговый результат Данное преобразование также является частным случаем формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение: $\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ При подстановке $x=\alpha +\beta$ и $y=\alpha -\beta$ мы получаем тот же результат: $2\sin \alpha \cos \beta$ Я могу также помочь вам с выводом формул для косинуса суммы или разности, если это необходимо.