Уравнение корень x+1=1-x

Для решения уравнения $\sqrt{x+1}=1-x$ воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат, предварительно определив область допустимых значений и условия существования решения. 1. Определение условий Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Кроме того, поскольку результат извлечения корня всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть больше или равна нулю.

• Условие подкоренного выражения: $x+1\ge 0⟹x\ge -1$ Условие правой части: $1-x\ge 0⟹x\le 1$

Следовательно, искомое решение должно находиться в промежутке: $[-1;1]$. 2. Возведение в квадрат Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности: $(\sqrt{x+1}{)}^2=(1-x{)}^2$ Применяя формулу квадрата разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, получаем: $x+1=1-2x+x^2$3. Решение квадратного уравнения Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные: $x^2-2x-x+1-1=0$ $x^2-3x=0$Разложим полученное уравнение на множители: $x(x-3)=0$Отсюда получаем два возможных корня:

1. $x_1=0$ $x_2=3$

4. Проверка корней Сопоставим полученные результаты с установленным ранее условием $x\in [-1;1]$:

• Для $x_1=0$: Число входит в промежуток. Проверка подстановкой: $\sqrt{0+1}=1-0⟹1=1$ (Верно). Для $x_2=3$: Число не входит в промежуток $[-1;1]$. Проверка подстановкой: $\sqrt{3+1}=1-3⟹2=-2$ (Ложно). Этот корень является «посторонним», возникшим в результате возведения в квадрат.

Ответ: $x=0$ Я могу также помочь с решением других иррациональных уравнений или систем уравнений, если это потребуется.