В чем заключается правило дифференцирования сложной функции?

Question

В чем заключается правило дифференцирования сложной функции?

Вечерний Тигр 16.02.2026 10:12

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Правило дифференцирования сложной функции (также известное как цепное правило) используется для нахождения производной функции, которая зависит от другой функции. Суть правила Если функция $y = f (u) y equals f of u$ зависит от переменной $u u$ , которая в свою очередь является функцией от $x x$ (то есть $u = g (x) u equals g of x$ ), то производная сложной функции $y = f (g (x)) y equals f of g of x$ по переменной $x x$ равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимой переменной. В математической записи это выглядит так: $y^{'} = f^{'} (u) \cdot u^{'} y prime equals f prime of u center dot u prime$ или более развернуто: $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} d y over d x end-fraction equals d y over d u end-fraction center dot d u over d x end-fraction$ Алгоритм вычисления Чтобы успешно применить это правило, необходимо выполнить следующие шаги:

Выделить внешнюю и внутреннюю функции. Например, в функции $y = \sin (x^{2}) y equals sine open paren x squared close paren$ , внешней функцией $f (u) f of u$ является синус, а внутренней $g (x) g of x$ — возведение в квадрат. Найти производную внешней функции, рассматривая её внутренний аргумент как единое целое (не изменяя его). Найти производную внутренней функции. Перемножить полученные результаты.

Примеры применения Для наглядности рассмотрим несколько типичных случаев:

Пример 1: Степенная функция с вложенным выражением
Пусть $y = (3 x + 5)^{4} y equals open paren 3 x plus 5 close paren to the fourth power$ .
Здесь внешняя функция — возведение в 4-ю степень, внутренняя — $3 x + 5 3 x plus 5$ .
$y^{'} = 4 (3 x + 5)^{3} \cdot (3 x + 5)^{'} = 4 (3 x + 5)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x + 5)^{3} y prime equals 4 open paren 3 x plus 5 close paren cubed center dot open paren 3 x plus 5 close paren prime equals 4 open paren 3 x plus 5 close paren cubed center dot 3 equals 12 open paren 3 x plus 5 close paren cubed$ Пример 2: Тригонометрическая функция
Пусть $y = \cos (5 x) y equals cosine 5 x$ .
Внешняя функция — косинус, внутренняя — $5 x 5 x$ .
$y^{'} = - \sin (5 x) \cdot (5 x)^{'} = - \sin (5 x) \cdot 5 = -5 \sin (5 x) y prime equals negative sine 5 x center dot open paren 5 x close paren prime equals negative sine 5 x center dot 5 equals negative 5 sine 5 x$ Пример 3: Экспонента
Пусть $y = e^{x^{2}} y equals e raised to the exponent x squared end-exponent$ .
Внешняя функция — $e^{u} e to the u-th power$ , внутренняя — $x^{2} x squared$ .
$y^{'} = e^{x^{2}} \cdot (x^{2})^{'} = e^{x^{2}} \cdot 2 x = 2 x e^{x^{2}} y prime equals e raised to the exponent x squared end-exponent center dot open paren x squared close paren prime equals e raised to the exponent x squared end-exponent center dot 2 x equals 2 x e raised to the exponent x squared end-exponent$

Важные замечания

Многократная вложенность: Если функция состоит из трех и более уровней (например, $y = \ln (\sin (x^{3})) y equals l n open paren sine open paren x cubed close paren close paren$ ), правило применяется последовательно («раскручивается» снаружи внутрь): $y^{'} = f^{'} (u) \cdot u^{'} \cdot v^{'} y prime equals f prime of u center dot u prime center dot v prime$ . Типичная ошибка: Забыть домножить на производную внутренней функции. Важно помнить, что производная берется не просто от «формулы», а по конкретной переменной.

Я могу разобрать более сложный пример с несколькими уровнями вложенности или помочь с решением конкретной задачи из вашего списка.

В чем заключается правило дифференцирования сложной функции?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов