Найдите точку максимума функции y=0.5x^2-7x+12inx+8

Точкой максимума функции $y=0.5x^2-7x+12\ln \left(x\right)+8$ является $x=3$. Шаг 1: Нахождение области определения и производной Функция определена при $x>0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным. Найдем производную функции по правилам дифференцирования суммы и натурального логарифма: $y^{\prime }=(0.5x^2{)}^{\prime }-(7x{)}^{\prime }+\left(12\ln \right(x){)}^{\prime }+(8{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=x-7+\frac{12}{x}$ Шаг 2: Нахождение стационарных точек Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $x-7+\frac{12}{x}=0$ Умножим все части уравнения на $x$ (с учетом $x\ne 0$): $x^2-7x+12=0$Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант или по теореме Виета: $D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1$ $x_1=\frac{7+1}{2}=4,x_2=\frac{7-1}{2}=3$ Обе точки входят в область определения ( $x>0$). Шаг 3: Определение точки максимума Определим знаки производной на интервалах, разделенных точками 3 и 4:

1. На интервале $(0;3)$: возьмем $x=1$, тогда $y^{\prime }\left(1\right)=1-7+12=6>0$. Функция возрастает. На интервале $(3;4)$: возьмем $x=3.5$, тогда $y^{\prime }\left(3.5\right)=3.5-7+\frac{12}{3.5}\approx -0.07<0$ . Функция убывает. На интервале $(4;+\infty )$: возьмем $x=5$, тогда $y^{\prime }\left(5\right)=5-7+2.4=0.4>0$. Функция возрастает.

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с плюса на минус. Это происходит в точке $x=3$. Ответ: 3 Нужно ли вам также вычислить максимальное значение функции в этой точке?