Во сколько раз площадь круга, описанного около правильного треугольника, больше площади круга, вписанного в этот же правильный треугольник?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть связь между радиусом описанной окружности ( $R$), радиусом вписанной окружности ( $r$) и стороной правильного (равностороннего) треугольника ( $a$). Геометрические зависимости В правильном треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает. Этот центр является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Из свойств правильного треугольника известны следующие формулы для радиусов:

1. Радиус описанной окружности:
   $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ Радиус вписанной окружности:
   $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Сравнение радиусов Найдем отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности: $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{6}{a\sqrt{3}}=\frac{6}{3}=2$ Таким образом, радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности ( $R=2r$). Сравнение площадей Площадь круга вычисляется по формуле $S=\pi r^2$. Обозначим площадь описанного круга как $S_{оп}$, а вписанного — как $S_{вп}$.

• Площадь описанного круга: $S_{оп}=\pi R^2$ Площадь вписанного круга: $S_{вп}=\pi r^2$

Найдем их отношение, подставив значение $R=2r$: $\frac{S_{оп}}{S_{вп}}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{R^2}{r^2}={\left(\frac{R}{r}\right)}^2$ Подставляем полученное ранее отношение радиусов: ${\left(2\right)}^2=4$Ответ: Площадь описанного круга в 4 раза больше площади вписанного круга. Я могу также рассчитать эти параметры для других правильных многоугольников, например, для квадрата или шестиугольника. Хотите рассмотреть такой пример?