Дан куб abcda1b1c1d1. ребро равно 2, м середина dd1. найти угол между прямыми cm и bd₁.

Угол между прямыми $CM$ и $B{D}_1$ равен $\arccos \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)$ . ️ Шаг 1: Введение системы координат и определение координат точек Поместим куб в прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $DA$, $DC$ и $D{D}_1$ лежали на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. При длине ребра $a=2$ координаты интересующих нас точек будут следующими:

• $D(0,0,0)$ $C(0,2,0)$ $B(2,2,0)$ $D_1(0,0,2)$

Точка $M$ является серединой ребра $D{D}_1$, следовательно: $M(0,0,1)$️ Шаг 2: Нахождение направляющих векторов прямых Найдем координаты векторов $\overrightarrow{CM}$ и $\overrightarrow{B{D}_1}$, вычитая координаты начала вектора из координат его конца: $\overrightarrow{CM}=(0-0;0-2;1-0)=(0,-2,1)$ $\overrightarrow{B{D}_1}=(0-2;0-2;2-0)=(-2,-2,2)$️ Шаг 3: Вычисление угла между векторами Угол $\alpha$ между прямыми находится через косинус угла между их направляющими векторами по формуле: $\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}|}{\left|\overrightarrow{CM}\right|\cdot \left|\overrightarrow{B{D}_1}\right|}$

1. Вычислим скалярное произведение векторов:
   $\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=0\cdot \left(-2\right)+\left(-2\right)\cdot \left(-2\right)+1\cdot 2=0+4+2=6$ Вычислим длины векторов:
   $\left|\overrightarrow{CM}\right|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$ $\left|\overrightarrow{B{D}_1}\right|=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ Подставим значения в формулу:
   $\cos \alpha =\frac{\left|6\right|}{\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{15}=\frac{\sqrt{15}}{5}$

Ответ: Угол между прямыми составляет $\arccos \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)$ . Требуется ли вам вычислить приблизительное значение этого угла в градусах или найти расстояние между этими прямыми?