1. в правильной треугольной пирамиде dabc с основанием abc точки m и n - середины ab и ac соответственно. какую часть объёма пирамиды dabc составляет объём пирамиды dbcmn? выберите вариант ответа. 1) 1/2 2) 2/3 3) 1/4 4) 3/4 2. два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4, диагональ параллелепипеда равна 5 2 . найдите объём параллелепипеда 3. в основании пирамиды sabc лежит правильный треугольник авс, сторона которого равна 12. боковое ребро sb перпендикулярно плоскости основания и равно 18 3 . найдите объём пирамиды sabc.

Question

1. в правильной треугольной пирамиде dabc с основанием abc точки m и n - середины ab и ac соответственно. какую часть объёма пирамиды dabc составляет объём пирамиды dbcmn? выберите вариант ответа. 1) 1/2 2) 2/3 3) 1/4 4) 3/4 2. два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4, диагональ параллелепипеда равна 5 2 . найдите объём параллелепипеда 3. в основании пирамиды sabc лежит правильный треугольник авс, сторона которого равна 12. боковое ребро sb перпендикулярно плоскости основания и равно 18 3 . найдите объём пирамиды sabc.

SamuraiRoy 13.02.2026 15:15

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

В первой задаче объем пирамиды $D B C M N cap D cap B cap C cap M cap N$ составляет 3/4 объема пирамиды $D A B C cap D cap A cap B cap C$ . Во второй задаче объем параллелепипеда равен 60. В третьей задаче объем пирамиды $S A B C cap S cap A cap B cap C$ равен 648. Задача 1: Отношение объемов пирамид Шаг 1: Нахождение площади основания Пирамиды $D A B C cap D cap A cap B cap C$ и $D B C M N cap D cap B cap C cap M cap N$ имеют общую вершину $D cap D$ , следовательно, их высоты $H cap H$ равны. Отношение их объемов равно отношению площадей их оснований: $△ A B C triangle cap A cap B cap C$ и четырехугольника $B C M N cap B cap C cap M cap N$ . Точки $M cap M$ и $N cap N$ — середины сторон $A B cap A cap B$ и $A C cap A cap C$ , значит, отрезок $M N cap M cap N$ является средней линией треугольника $A B C cap A cap B cap C$ . Площадь $△ A M N triangle cap A cap M cap N$ относится к площади $△ A B C triangle cap A cap B cap C$ как квадрат коэффициента подобия: $S_{A M N} = (\frac{1}{2})^{2} \cdot S_{A B C} = \frac{1}{4} S_{A B C} cap S sub cap A cap M cap N end-sub equals open paren one-half close paren squared center dot cap S sub cap A cap B cap C end-sub equals one-fourth cap S sub cap A cap B cap C end-sub$ Шаг 2: Отношение объемов Площадь четырехугольника $B C M N cap B cap C cap M cap N$ находится как разность площадей: $S_{B C M N} = S_{A B C} - S_{A M N} = S_{A B C} - \frac{1}{4} S_{A B C} = \frac{3}{4} S_{A B C} cap S sub cap B cap C cap M cap N end-sub equals cap S sub cap A cap B cap C end-sub minus cap S sub cap A cap M cap N end-sub equals cap S sub cap A cap B cap C end-sub minus one-fourth cap S sub cap A cap B cap C end-sub equals three-fourths cap S sub cap A cap B cap C end-sub$ Так как $V = \frac{1}{3} S H cap V equals one-third cap S cap H$ , то: $V_{D B C M N} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4} S_{A B C}) \cdot H = \frac{3}{4} V_{D A B C} cap V sub cap D cap B cap C cap M cap N end-sub equals one-third center dot open paren three-fourths cap S sub cap A cap B cap C end-sub close paren center dot cap H equals three-fourths cap V sub cap D cap A cap B cap C end-sub$ Ответ: 4) 3/4 Задача 2: Объем прямоугольного параллелепипеда Шаг 1: Нахождение третьего ребра Пусть ребра параллелепипеда равны $a = 3 a equals 3$ , $b = 4 b equals 4$ и $c c$ . Квадрат диагонали $d d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} d squared equals a squared plus b squared plus c squared$ . Подставим известные значения: $(5 \sqrt{2})^{2} = 3^{2} + 4^{2} + c^{2} open paren 5 the square root of 2 end-root close paren squared equals 3 squared plus 4 squared plus c squared$ $50 = 9 + 16 + c^{2} 50 equals 9 plus 16 plus c squared$ $50 = 25 + c^{2} c^{2} = 25 c = 5 50 equals 25 plus c squared implies c squared equals 25 implies c equals 5$ Шаг 2: Вычисление объема Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c cap V equals a center dot b center dot c$ : $V = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 cap V equals 3 center dot 4 center dot 5 equals 60$ Ответ: 60 Задача 3: Объем пирамиды SABC Шаг 1: Площадь основания В основании лежит правильный треугольник со стороной $a = 12 a equals 12$ . Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{12^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3} cap S sub cap A cap B cap C end-sub equals the fraction with numerator a squared the square root of 3 end-root and denominator 4 end-fraction equals the fraction with numerator 12 squared the square root of 3 end-root and denominator 4 end-fraction equals the fraction with numerator 144 the square root of 3 end-root and denominator 4 end-fraction equals 36 the square root of 3 end-root$ Шаг 2: Расчет объема Высотой пирамиды является ребро $S B = 18 \sqrt{3} cap S cap B equals 18 the square root of 3 end-root$ , так как оно перпендикулярно плоскости основания. Подставим значения в формулу объема $V = \frac{1}{3} S_{b a s e} H cap V equals one-third cap S sub b a s e end-sub cap H$ : $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \sqrt{3} \cdot 18 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \cdot 18 \sqrt{3} = 12 \cdot 18 \cdot 3 = 648 cap V equals one-third center dot 36 the square root of 3 end-root center dot 18 the square root of 3 end-root equals 12 the square root of 3 end-root center dot 18 the square root of 3 end-root equals 12 center dot 18 center dot 3 equals 648$ Ответ: 648 Нужно ли подготовить аналогичные задачи для тренировки или разобрать свойства средней линии в пространственных фигурах подробнее?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов