Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти ок­та­эд­ра, если все его ребра уве­ли­чить в 3 раза?

Чтобы определить, во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра при изменении его линейных размеров, необходимо воспользоваться свойствами подобия геометрических фигур. Геометрическое обоснование Октаэдр — это правильный многогранник, поверхность которого состоит из 8 равных равносторонних треугольников.

1. Формула площади: Площадь поверхности правильного октаэдра вычисляется по формуле:
   $S=2\sqrt{3}\cdot a^2$ где $a$ — длина ребра октаэдра. Изменение параметров: Если все ребра увеличить в $k$ раз (в данном случае $k=3$), то новое ребро будет равно $3a$. Расчет новой площади: Подставим новое значение ребра в формулу:
   $S_{new}=2\sqrt{3}\cdot (3a{)}^2=2\sqrt{3}\cdot 9a^2=9\cdot (2\sqrt{3}\cdot a^2)$ Сравнение: Отношение новой площади к первоначальной составит:
   $\frac{S_{new}}{S}=\frac{9\cdot S}{S}=9$

Универсальное правило подобия Для любых подобных тел (включая многогранники, шары, конусы и т.д.) справедливо следующее утверждение: площади поверхностей подобных тел относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. Если коэффициент подобия равен $k$, то площади относятся как $k^2$. В данной задаче:

• Коэффициент изменения ребер $k=3$. Изменение площади $k^2=3^2=9$.

Ответ: Площадь поверхности октаэдра увеличится в 9 раз. Я могу составить для вас аналогичную задачу на изменение объема этого октаэдра или подготовить шпаргалку по свойствам правильных многогранников. Хотите, чтобы я это сделал?